Теория ЛСЭ; ондуляторный лазер на свободных электронах

В ондуляторном лазере на свободных электронах релятивистский электронный пучок (обычно это последовательность коротких электронных пакетов) пролетает через достаточно протяженную область, в которой магнитное поле пространственно периодично (2). Систему, обеспечивающую пространственную периодичность поля, называют ондулятором (от французского onde – волна или ondulatoire – волнообразный, волнообразователь) или виглером (от английского wiggle – покачивать, извиваться). Магнитные ондуляторы создают вблизи оси пучка постоянное во времени поперечное пространственно-периодическое линейно или циркулярно поляризованное поле.

Рассмотрим лазер со спиральным ондулятором, магнитное поле на оси которого циркулярно поляризовано. При круговой поляризации волны, распространяющейся вдоль оси z параллельно электронному пучку, электроны находятся в полях, определяемых векторными потенциалами поля ондулятора A1 и пола электромагнитной волны A2,

Здесь x и у – единичные векторы вдоль осей Ох и Оу, перпендикулярных друг к другу и к оси Оz; Е – напряженность электрического поля; w – частота распространяющейся вдоль Ог электромагнитной волны; q = 2p/L (L и Н – период и напряженность магнитного поля ондулятора).

В системе координат, движущейся с первоначальной скоростью электронов V » c, потенциалы (5) принимают вид

где величины со штрихом относятся к движущейся системе координат и в соответствии с (3) и (4)

, W=cqg

Первая из формул (6) показывает, что в сопутствующей системе координат потенциал поля ондулятора становится близким к потенциалу плоской волны частоты W. Другими словами, релятивистский электрон воспринимает статическое пространственно-периодическое магнитное поле как распространяющуюся навстречу ему электромагнитную волну с длиной волны L/g. Условие резонанса определяет ту частоту поля, в окрестности которой возможны усиление и генерация в ондуляторном лазере на свободных электронах. В лабораторной системе отсчета это условие дает значение

что полностью эквивалентно приведенной выше формуле (2).

Уравнения движения электрона в сопутствующей системе отсчета запишем в виде

где z – единичный вектор вдоль оси Ог; р’ и V’ импульс и скорость электрона; А' = А’1 + А’2 и учтено, что А' не зависит от поперечных координат. В силу этой независимости легко напиcать первый интеграл уравнения (8), определяющий движение электрона в плоскости xу:

Если считать движение электрона в сопутствующей системе координат нерелятивистским, то интеграл (9) прямо определяет скорость электрона в поперечной плоскости:

Как видно из записи (6), векторный потенциал А не имеет продольной компоненты ,что соответствует характеру намотки двухзаходной спирали соленоида, создающего ондуляторное поле, и поперечности распространяющейся в ондуляторе электромагнитной волны. Тогда уравнение для продольной компоненты импульса электрона согласно (8) принимает вид

Подставив в (11) значения компонент скорости и из (10), легко найти, что

Сумма квадратов поперечных составляющих суммарного векторного потенциала А' равна

Подставляя это выражение в (11) и учитывая, что при нерелятивистском движении в сопутствующей системе координат , получаем уравнение для продольной координаты электрона в этой системе:

Аргумент синуса определяет фазу движения электрона в полях ондулятора и распространяющейся в нем волны:

Связь фазы j с продольной координатой движения электрона г и временем t в лабораторной системе отсчета может быть получена с помощью обратного преобразования Лоренца:

В окрестности резонанса, т.е. при , имеем