Фонон

Подставив это выражение в (6), получим:

-M\omega^2e^{ikx_n}=\gamma(e^{ikx_{n+1}}+e^{ikx_{n-1}}-2e^{ikx_n})

(8)

Разделим последнее уравнение на exp(ikxn) и воспользуемся тем, что xn+1 = xn+a, xn–1 = xn–a:

–Mω2 = γ(eika+e–ika–2)

(9)

Таким образом, подстановка в виде плоской волны оказалась верной: мы избавились от номера атома n и получили уравнение, связывающее ω и k, т. е. уравнение, определяющее закон дисперсии волн.

Поскольку

\frac{e^{ika}+e^{-ika}}{2} = \cos ka,

(10)

то

\omega^2=\frac{2\gamma}{M} (1-\cos ka)= \frac{4\gamma}{M} \sin^2 \frac{ka}{2}

(11)

и мы получаем закон дисперсии для упругих колебаний одномерной цепочки:

\omega = \sqrt{\frac{4\gamma}{M}} \left| \sin\frac{ka}{2}\right|

(12)

Итак, мы пришли к выводу, что смещения атомов при колебании одномерной цепочки описываются плоской гармонической волной:

u_n = \mathrm{Re}\left[A e^{i(kx_n-\omega t)}\right] = |A|\cos(kx_n-\omega t +\varphi),

(13)

Точнее, колебания представляют собой произвольную сумму таких волн. Здесь φ — фаза комплексной амплитуды A: A = |A|exp(iφ).

Напомним, что смещение — вещественная величина, которая описывается вещественной частью комплексной плоской гармонической волны, что явно записано в (13). В дальнейшем, при описании вещественных колебаний комплексной плоской волной, мы будем для краткости опускать обозначение вещественной части.

Волновой вектор k в плоской волне (13) может, вообще говоря, быть любым. Но вследствие дискретности цепочки (xn может принимать лишь дискретный набор значений na) плоские волны, волновые вектора которых отличаются друг от друга на произвольный вектор обратной решетки 2π l/a, описывают одно и то же колебание. (Здесь l — любое целое число).

Действительно, т. к. xn = na, то

e^{i(k+\frac{2\pi l}{a})x_n}=e^{i(kx_n+\frac{2\pi l}{a}na)}=e^{ikx_n}

(14)

Поэтому достаточно рассматривать волновые вектора, лежащие в первой зоне Бриллюэна –π/a<k<π/a. Крайние значения волнового вектора ±π/a соответствуют одному и тому же колебанию с минимальной длиной волны λ = 2π/k = 2a. При такой длине волны соседние атомы цепочки движутся в противофазе. Интуитивно ясно, что короче длина волны быть уже не может.

График зависимости ω(k) для одномерной цепочки с одним атомом в примитивной ячейке изображен на рис. 2.

Рис. 2. Закон дисперсии колебаний цепочки с одним атомом в примитивной ячейке.

Обсудим теперь особенности закона дисперсии (12).

Важным его свойством является то, что частота волн, распространяющихся по цепочке, ограничена частотой \omega_{max}=\sqrt{4\gamma/M}. Чтобы оценить эту частоту, надо знать порядок величины постоянной γ.

Посмотрим на размерность γ. Сила F равна произведению γ на смещение u, поэтому:

[\gamma]=\frac{[F]}{[u]}=\frac{\rm{энергия}}{\rm{длина}^2}

(15)

Характерная длина, межатомное расстояние a, имеет порядок 1A = 10–8 cм. Характерная энергия — энергия, которую приобретает атом при смещении на расстояние порядка a. Ее можно оценить как энергию химической связи, которая по порядку величины равна 10 эВ. Таким образом,

\gamma=\frac{1.6\cdot 10^{-12} {\rm эрг}}{10^{-16} {\rm см}^2}=1.6\cdot 10^4 \frac{{\rm эрг}}{{\rm см}^2}

(16)

В качестве массы для оценки можно подставить величину 10Mp , где Mp≈ 2· 10–24 г — масса протона.

Для ωmax получаем:

\omega_{max}\sim \sqrt{\frac{4\cdot 1.6\cdot 10^4}{2\cdot 10^{-23}}}\approx 6\cdot 10^{13} {\rm с}^{-1}, \nu=\frac{\omega}{2\pi}\sim 10^{13} {\rm Гц}

(17)

Найдем длину волны электромагнитного излучения такой частоты:

\lambda=\frac{c}{\nu}\approx \frac{3\cdot 10^{10}}{10^{13}}=3\cdot 10^{-3} {\rm см}=30 {\rm мкм}

(18)

Электромагнитные волны с такой длиной принадлежат инфракрасному диапазону.

При ka/2<<1, когда длина волны λ = 2π/k много больше a, sin(ka/2)≈ ka/2, поэтому:

\omega(k) \approx \sqrt{\frac{4\gamma}{M}} \left| \frac{ka}{2}\right|=a\sqrt{\frac{\gamma}{M}} |k|=s|k|, s=a\sqrt{\frac{\gamma}{M}}

(19)

Таким образом, длинноволновые колебания — это звуковые волны с линейным законом дисперсии ω = s|k|. Выше мы уже получали такой результат, заменив точное уравнение цепочки (2) волновым уравнением (3). Это и неудивительно: длинные волны ''не чувствуют'' дискретной структуры цепочки, цепочка ведет себя как непрерывная упругая среда. По этой причине скорость звука s зависит только от макроскопических характеристик цепочки: линейной плотности, M/a, и упругой постоянной цепочки γ· a — коэффициента пропорциональности между относительным удлинением цепочки и возникающей при этом силой натяжения:

s=\sqrt{\frac{\gamma\cdot a}{M/a}}

(20)


Страница: