У кристаллов со структурой алмаза или цинковой обманки примитивная ячейка содержит 2 атома. Соответственно, кроме трех акустических, эти кристаллы обладают тремя оптическими ветвями колебаний, из которых также можно выделить продольную (LO) и две поперечных (TO) ветви.

Как и в одномерном случае, волновые вектора, отличающиеся друг от друга на вектор обратной решетки, соответствуют одному и тому же колебанию. По этой причине достаточно рассматривать волновые вектора, лежащие в первой зоне Бриллюэна.

Количество разрешенных волновых векторов в зоне Бриллюэна равно N = V/v0 — числу примитивных ячеек в нормировочном объеме кристалла V = L3 (v0 – объем примитивной ячейки). Действительно, плотность разрешенных волновых векторов в обратном пространстве равна V/(2π)3, т. е. в объеме обратного пространства Δ3k содержится Δ3k· V/(2π)3 разрешенных волновых векторов. Объем зоны Бриллюэна — объем примитивной ячейки обратной решетки — равен (2π)3/v0, и для числа разрешенных состояний получаем (2π)3/v0· V/(2π)3 = V/v0 = N.

Число ветвей — 3l, поэтому полное число колебаний равно 3lN — утроенному числу атомов кристалла в объеме L3, т. е. числу степеней свободы механической системы.

2. Понятие о фононах.

Кристаллическое твердое тело отличается от газов, жидкостей и от аморфных твердых тел гораздо большей микроскопической скоординированностью, более упорядоченной структурой на атомном масштабе. Это относится как к кристаллической решетке, так и к электронной структуре, но нас сейчас будет интересовать именно решетка.

Благодаря тому, что каждый атом сильно связан с соседями, он сам по себе, в одиночку двигаться не может - он заставляет двигаться в такт себе и соседей. В результате, микроскопическое движение в кристалле надо представлять себе не как движение отдельных атомов, а как определенные коллективные, синхронные колебания большого числа атомов. Такие колебания называются фононами. Именно фононы являются, как говорят физики, истинными степенями свободы в кристаллическом твердом теле. В терминах фононов можно описать и звуковые волны, и теплоемкость кристалла, и сверхпроводимость некоторых материалов, и, наконец, самые разнообразные микроскопический явления в кристалле.

Некогерентные, т.е. никак не скоррелированные, независимые фононы есть в кристалле всегда. Они имеют самые разные длины волн, распространяются в самых разных направлениях, накладываются друг на друга - и в результате приводят лишь к мелкому, хаотичному дрожанию отдельных атомов.

Однако если мы теперь создадим большое число когерентных фононов (т.е. фононов одного сорта - с одинаковой длиной волны, двигающихся в одинаковом направлении и в одинаковой фазе), то получится монохроматическая волна деформации, распространяющаяся по кристаллу. Именно за такой волной деформации, за такими когерентными фононами и можно наблюдать в режиме реального времени. Каждому колебанию соответствует одно состояние фонона с импульсом и энергией .

Фононы являются бозе-частицами: число фононов, соответствующих определенному колебанию (число фононов одном состоянии), может быть сколь угодно большим. В состоянии термодинамического равновесия среднее число фононов njk ветви j с волновым вектором зависит только от энергии фонона (частоты колебания):

Здесь kB — постоянная Больцмана. С точки зрения квантовой (да и классической) механики, нормальные колебания решетки ведут себя как набор независимых гармонических осцилляторов. Роль координаты осциллятора играет при этом амплитуда колебания, число фононов является уровнем энергии осциллятора.

На каждое колебание приходится средняя энергия . Строго говоря, к этой энергии надо прибавить энергию основного состояния колебания (энергию нулевых колебаний): как и у обычного гармонического осциллятора она равна . Но энергией нулевых колебаний кристалл обладает всегда, и мы просто примем ее за начало отсчета.

При высоких температурах, kb T >> ħω, число фононов пропорционально температуре:

Средняя энергия колебания при этом равна kbT. Это известный результат классической статистической механики для средней энергии гармонического осциллятора. Таким образом, пока температура превосходит энергию фонона, квантовые эффекты не играют роли.

Они играют существенную роль при низких температурах. Если kb T << ħω, то среднее число фононов экспоненциально мало:

Можно сказать, что колебания, частота которых превосходит величину kbT/ħ, ''вымерзают''. Энергия колебания не может быть меньше энергии одного фонона ħωjk а энергия фонона много больше характерной тепловой энергии kBT, поэтому такие колебания практически не возбуждаются.

Энергия колебаний и теплоемкость кристаллической решетки

Энергию колебаний и теплоемкость решетки будем рассчитывать для единичного объема кристалла, т. е. положим нормировочный объем равным единице: V = L3 = 1.

Чтобы вычислить среднюю энергию колебаний кристаллической решетки, нужно просуммировать среднюю энергию всех типов колебаний (всех состояний фононов):