Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как связаны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.

Теорема. Для того чтобы функция z = f(x, у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы, семейство

было общим интегралом уравнения

в той же области G.

Доказательство. Необходимость. Пусть z = f(x, у)— решение уравнения (1.4.6). Рассмотрим семейство кривых f(x, у) — k и докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (1.4.7).

В любой точке, лежащей на кривой f(x, у) = k (где k — фиксировано), выполняется следующее равенство:

действительно вдоль данной кривой функция f(x, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.

Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:

обозначим каждое из этих отношений через l; тогда

Подставляя эти выражения для dx и dy в левую часть уравнения (1.4.8), получим:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (1.4.6). Следовательно, во всех точках нашей кривой имеет место равенство

откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравне­ния (1.4.8).

Итак, любая кривая вида f(x, у) = k является интегральной кривой уравнения (1.4.8); с другой стороны, через каждую точку области G проходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области G и поэтому, на­пример, через точку (х0, у0) проходит кривая f(x,y)=f(x0,y0).

Отсюда следует, что семейство f(x, у) = k является общим интегралом уравнения (1.4.8).

Достаточность. Пусть семейство f(х, у)= k будет общим интегралом уравнения (1.4.8). Возьмем произвольную точку (х0, у0) из G и выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку:

f(x, у) = k0.

Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду вдоль этой кривой выполняется равенство

откуда

Так как кривая является интегральной кривой уравнения (1.4.8), то при подстановке в это уравнение dx и dy из (1.4.10), получим тождество:

или, после сокращения на l2:

В частности, в точке (х0, у0) имеет место:

Но последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (х0, у0) уравнению (1.4.7). Так как точка (х0, y0) была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (1.4.7) во всех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (1.4.7).

Таким образом, теорема доказана.

Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения (1.4.1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (1.4.8); оно называется характеристическим уравнением для данного уравнения (1.4.1). Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно y’x (предварительно разделив все члены уравнения на dx2), получим два уравнения:

(предполагается, что ас — b2<0, b2 —ас>0 всюду в области G). Пусть общий интеграл уравнения (1.4.101) имеет вид

а общий интеграл уравнения (1.4.102)