Специфика физики микрообъектов
Для описания состояний фотона используют чаще всего следующие наборы:
kx, ky, kz, α,
E, M2, Mz, P.
Здесь kx, ky, kz – проекции волнового вектора излучения; α – поляризация фотона; M2 и Mz – соотвественно квадрат момента и проекция момента фотона; P – квантовое число, называемое пространственной четностью. Заметим, что коль скоро определены проекции волнового вектора излучения, то определены и проекции импульса фотона. Поляризация фотона принимает два значения – в полном значении с двумя независимыми поляризациями классической волны (так, например, можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптическую поляризацию). Пространственная четность – специфическая характеристика микрообъекта; она может рассматриваться как интеграл движения, сохранение которого есть следствие симметрии по отношению к операции отражения в зеркале. Четность может принимать два значения: Р = 1, -1.
Набор kx, ky, kz, α используют для описания состояний фотонов, отвечающим плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также энергия фотона (Е = hω). О состояниях, описываемых этим набором, говорят, как о kα-состояниях. Набор E, M2, Mz, P α используют для описания состояний фотонов, отвечающим сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно тому, как сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн, состояние фотона, определяемое этим набором, может быть представлено в виде «суперпозиции» состояний, определяемых набором kx, ky, kz, α. Верно также и противоположное заключение – о представлении плоской волны в виде суперпозиции сферических волн. Здесь мы коснулись одного из наиболее важных и тонких аспектов квантомеханического описания материи – специфики «взаимоотношений» состояний микрообъекта, описываемых разными полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее конструктивном принципе квантовой механики – принципе суперпозиции состояний.
Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. Указанное ранее основное противоречие квантовых переходов фактически снимается, если воспользоваться идеей дуализма, а, точнее, соотношениями неопределенностей. Предположим, что рассматривается переход электрона в атоме с уровня Е1 на уровень Е2 при поглощении фотона с энергией hω = Е2-Е1. Напомним, что противоречие перехода было связано с выяснением вопроса о том, что именно происходит сначала: поглощение фотона или переход электрона. легко видеть, что теперь этот вопрос попросту теряет смысл. Действительно, если до и после взаимодействия с излучением мы имеем связанный электрон с энергией соответственно Е1 и Е2, то во время взаимодействия с излучением получаем единую квантомеханическую систему, включающее в себя и электрон, и излучение. Эта система существует конечное время (пока происходит взаимодействие с излучением) и, согласно соотношению ΔEΔt > h, не может иметь какой-либо определенной энергии. Поэтому нет смысла выяснять, что именно в подробностях происходит в такой системе. Во время взаимодействия электронов с фотонами нет, строго говоря, ни электронов, ни фотонов, а есть нечто единое целое, которое и следует рассматривать как единое целое – без уточнения деталей. Этот пример показывает, что в квантовой механике нельзя бесконечно детализировать во времени физический процесс. Вопрос: что происходит после чего? – не всегда можно ставить в отношении микроявлений.
Соотношение неопределенностей «число фотонов – фаза». Используемые в квантовой теории соотношение неопределенностей отнюдь не исчерпываются вышеприведенными соотношениями. В качестве еще одного такого соотношения укажем соотношения неопределенностей для числа фотонов и фазы волны.
Пусть имеется монохроматическое излучение частотой ω. С одной стороны, оно может рассматриваться как коллектив фотонов, каждый из которых имеет энергию hω; с другой стороны – как классическая электромагнитная волна. Пусть N – число фотонов в рассматриваемом объеме, Ф = ωt – фаза классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов N) и волновая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно определенные значения; существует соотношения неопределенностей
ΔNΔФ > 1.
Чтобы прийти к этому соотношению, будем исходить из соотношения неопределенности для энергии и времени. Напомним, что для измерения энергии квантового объема ΔΕ надо затратить время Δt > h / ΔE. Если в качестве квантового объекта рассматривается коллектив фотонов, то в этом случае
ΔE = hΔNω,
где ΔN – неопределенность числа фотонов. В течение времени Δt, необходимого для измерения энергии объекта с точностью до hΔNω, фаза Ф объекта изменится на величину ΔФ = ωΔt. Подставляя сюда соотношение Δt > h / hωΔN, находим ΔФ > 1 / ΔN, что и требовалось показать.
В соотношении ΔNΔФ > 1 отразилось противоречивое единство корпускулярных и волновых свойств излучения. Неопределенность ΔФ мала, когда ярко выражены волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико N), а следовательно, и неопределенность ΔN. С другой стороны, неопределенность ΔN мала, когда в коллективе мало фотонов; в этом случае ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика неопределенность ΔФ.
4 . Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей.
Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии. Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной частицы, движущейся в кулоновском поле
Е = p2 / 2m - e2 / r,
где m и е – соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Согласно соотношению ΔpxΔx > h, эти величины связаны друг с другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r из формулы. Получим
E(p) = p2 / 2m - e2p / h.
Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р1; обозначим его через Е1. Величину Е1 можно рассматривать как оценку энергии основного состояния атома водорода, а величину r1 = h / p1 – как оценку линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты). Приравнивая к нулю производную , находим р1 = me2 / h. Отсюда немедленно получаем искомые оценки:
r1 = h2 / me2, E1 = -me4 / 2h2.
Эти оценки полностью совпадают с результатами строгой теории. Конечно, к такому полному совпадению надо относится в известной мере как к случайному успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок величин. Подчеркнем, что этот порядок, как мы видим, оценивается весьма просто: достаточно заменить в классическом выражении точными значениями динамических переменных величинами, характеризующими степень «размытия» этих переменных, т.е. их неопределенностями, а затем воспользоваться квантомеханическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности.
