Реактивное движение
Рефераты >> Физика >> Реактивное движение

Подставляя сюда выражение для Rc и дифференцируя, получаем

{d\over dt} \left( {m_1{\bf r}_1+m_2{\bf r}_2\over m_1+m_2} \right) = {m_1{\bf v}_1+m_2{\bf v}_2\over m_1+m_2}= {\bf V}_c.

(17)

Эта формула определяет скорость центра инерции Vc через массы и скорости составляющих систему частиц. К движению именно этой точки относится первый закон Ньютона, и скорость этой точки надо считать скоростью движения системы как целого 1. Если мы согласимся на такое определение скорости движения системы как целого, то тогда импульс системы как целого должен быть равен произведению суммарной массы системы m1 + m2 на ее скорость Vc, то есть (m1+m2)Vc. С другой стороны,

(m1+m2)Vc = m1v1+m2v2 = p1 + p2

(18)

и импульс системы оказывается равным сумме импульсов составляющих ее частиц. Таким образом, импульс, как говорят, — величина аддитивная, то же самое можно сказать и о массе тела. Мы показали, что в отсутствие внешних сил этот импульс не меняется со временем, то есть сохраняется. Очевидно, что все вышесказанное можно отнести и к системе с б\'ольшим числом материальных точек. Если на систему теперь действуют внешние силы, например на первое тело F1 внеш и на второе F2 внеш, то уравнения движения для каждой из материальных точек запишутся в виде

{d{\bf p}_1\over dt}

=

F12+ F1 внеш,

 
     

(19)

{d{\bf p}_2\over dt}

=

F21+ F2 внеш.

 

Складывая эти уравнения, получаем

{d\over dt} \left( {\bf p}_1+{\bf p}_2 \right)

=

F1 внеш+F2 внеш, или

 
     

(20)

m{d{\bf V}_c\over dt}

=

F1 внеш+ F2 внеш.

 

Отсюда следует, что

центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки будут далее разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было.

Принцип относительности Галилея и закон сохранения импульса Сформулировав принцип относителньости Галилея и законы Ньютона, мы нашли, что они не противоречат друг другу, то есть второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея. Затем из второго и третьего законов Ньютона мы вывели закон сохранения импульса (этих двух законов, по существу, достаточно: первый закон — частный случай второго, когда сила равна нулю). Таким образом, возникает естественное желание проверить закон сохранения импульса с точки зрения принципа относительности Галилея. А именно: давайте покажем, что если этот закон сохранения верен в одной инерциальной системе, то он верен и во всех остальных системах, движущихся относительно нее с постоянной скоростью. Действительно, рассмотрим две системы координат S и S' и пусть последняя движется со скоростью V относительно первой. Тогда, если v — это скорость частицы в системе S, а v' — скорость в системе S', то, как мы видели, эти скорости связаны соотношением

v = v' + V.

(21)

Пусть теперь в системе отсчета S происходит столкновение двух частиц m1 и m2 со скоростями v1 и v2, В результате столкновения они разлетаются, но уже с другими скоростями w1 и w2. Закон сохранения импульса в системе отсчета S выглядит тогда следующим образом:

m1v1+ m2v2 = m1w1+ m2w2.

(22)

Подставляя сюда

\begin{array}{rcl} {\bf v}_1 = {\bf v}_1'+{\bf V}, {\bf v}_2 &=& {\bf v}_2'+{\bf V},\\[5pt] {\bf w}_1= {\bf w}_1'+{\bf V}, {\bf w}_2&=& {\bf w}_2'+{\bf V}, \end{array}

(23)

мы получим

m1(v1'+V)+ m2(v2'+V)

=

m1(w1'+V)+ m2(w2'+V), или

 
     

(24)

m1v1'+ m2v2'+ (m1+m2)V

=

m1w1'+m2 w2'+ (m1+m2)V.

 

Сокращая на (m1+m2)V, мы приходим к выводу, что и в системе S' выполняется закон сохранения импульса:

m1v1'+m2v2' = m1w1'+ m2w2'.

(25)


Страница: