(13)

Здесь - координаты точки относительно точки , так что

Введем в рассмотрение матрицу из девяти элементов

Тогда (13) можно переписать следующим образом:

Полученное равенство не зависит от системы координат и в любой системе координат вектору ставит в соответствие вектор . Это свойство равенства является необходимым и достаточным условием того, что входящая в него матрица определяет тензор.

Преобразуем разложение (13) так, чтобы привести его к виду

(14)

В силу линейности (13) по функция должна быть квадратичной относительно переменных, и ее можно записать следующим образом:

Спроектируем (14) на оси координат:

(15)

Сравнивая (15) с (13), находим коэффициенты квадратичной формы и проекции векторов :

(16)

Эти величины определяются единственным образом. Разберем смысл формул (14). Предварительно отметим, что для абсолютно твердого тела имеем , где - скорость полюса - вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через . Из (14) следует, что скорость в некоторой точке сплошной среды складывается из скорости полюса , скорости этой точки во вращательном движении затвердевшей частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс , скорости деформации . Угловая скорость вращения частицы равна

скорость деформации частицы

На основании соотношений (16) тензор можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

(17)

Симметричный тензор определяет скорости деформации частицы и называется тензором скоростей деформации. С этим тензором связана симметрическая квадратичная форма . Как и в случае тензора напряжений, существуют главные координатные оси , в которых квадратичная форма принимает простейшую форму

Переход от произвольной системы координат к главным осям осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Главные скорости деформации находятся как корни векового уравнения

Имеются три инварианта тензора скоростей деформации - линейный , квадратичный , кубический . В частности, для линейного инварианта имеем выражения

(18)

Связь тензоров напряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры и характеризуют напряжение и деформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной среды должна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкости такая связь устанавливается законом Навье-Стокса.

В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:

1. в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;

2. жидкость изотропна - свойства ее одинаковы по всем направлениям;

3. компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформации.

Наиболее общий вид связи между тензорами и , удовлетворяющий этим условиям, есть

(19)

Здесь - единичный тензор, и - скалярные величины. Если движение отсутствует, отсюда получаем . Это означает, что в этом случае в жидкости действительно существуют только нормальные напряжения, одинаковые в силу изотропии жидкости. Так как вязкость проявляется лишь при движении, то естественно считать, что напряженное состояние в вязкой жидкости будет таким же, как в покоящейся идеальной жидкости, - на каждой площадке будет действовать по нормали к ней гидростатическое давление . Значение выражается через первый инвариант тензора :

Обобщая это соотношение, определим давление в движущейся вязкой жидкости соотношением