В частности, операция L может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество a - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством a - уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что

mR1(x,y) =

Очевидно, что из a1£ a2 следует Ra1 ³ Ra2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = a×Ra, 0<a£1,

где a×Ra означает, что все элементы Ra умножаются на a.

Условные нечеткие подмножества.

Пусть X и Y - универсальные множества, взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (X´Y)®[0,1], т.е. для каждой пары (x,y)ÎX´Y задано значение функции принадлежности mR(x,y)Î[0,1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена функция принадлежности mA(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией принадлежности

mB(y) = min[mA(x), m R(x,y)] = [m A(x)L mR(x,y)].

Обозначение: B = A·R.

Пример:

Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} и заданы нечеткое отношение

и нечеткое множество A = {0,3/x1,0,7/x2,1/x3}.

Проведем операцию L для А и столбца y1 :

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

mB(y1) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y2, y3, y4 имеем:

mB(y2) = 0,3

mB(y3) = 0,7

mB(y4) = 0,4.

И окончательно:

Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А1 индуцирует А2 посредством R1,

А2 индуцирует А3 посредством R2,

.

Аn-1 индуцирует Аn посредством Rn-1,

то

А1 индуцирует Аn посредством Rn-1·Rn-2· .·R1,

где Rn-1·Rn-2· .·R1 - определенная выше композиция нечетких отношений R1, R2, ., Rn.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

Пусть А={0,3/x1, 0,7/x2 }, тогда