Определению отрицания можно придать форму таблицы истинности, в которой «и» означает «истинно» и «л» - «ложно».

В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемы таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и» получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна. Высказывание A

может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании B. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний. Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена слева. Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

1) каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;

2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Соединяя два высказывания с помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами диъюнкции. Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смыслах. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе – ложно.

Символ v будет обозначать дизъюнкцию в неисключающем смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться v`. Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны. В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.

9. Импликация и эквивалентность: таблицы значений

Условное высказывание – сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если ., то .» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого. Условное высказывание слагается из двух простых высказываний. То, которому предписано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим); высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или и пликации.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) – ложным. Для установления истинности импликации «если A, то B» достаточно, таким образом, выяснить истинностные значения высказываний A и B. Из четырех возможных случаев импликация истинна в следующих трех:

(1) и ее основание, и ее следствие истинны;

(2) основание ложно, а следствие истинно;

(3) и основание, и следствие ложны.

Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна. Будем обозначать импликацию символом →. Таблица истинности для импликации приводится. Смысл импликации, как одной из логических связок, полностью определен этой таблицей и ничего другого импликация не подразумевает. Импликация, в частности, не предполагает, что высказывания A и B как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности B высказывание «если A, то B» истинно независимо от того является A истинным или ложными связано оно по смыслу с B или нет. Условное высказывание истнно также тогда, когда A ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно B или нет и связано оно по содержанию с A или нет.

С имплткацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность – сложное высказывание «A, если и только если B», образованное из высказываний A и B и разлагающееся на две импликации: «если A, то B» и «если B, то A».

Термином «эквивалентность» обозначается и связка « . если и только если .», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо « ., если и только если» для этой цели могут использоваться « в том и только в том случае, когда .», « . тогда и только тогда, когда .» и т. п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогдаи только тогда, когда оба составляющие ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно. Обозначим эквивалентность символом ↔, формула A↔B может быть прочитана так: «A, если и только если B». Таблица истинности для эквивалентности приводится.