Задача 1.

Даны два вектора AB и CD, причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1; -2; 2) и D(2; 1;5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ= ( -3; 3; 0) и СD= (3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

АВ х СD=( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее и означает, что АВ СD.

Задача 2.

Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.

Решение.

Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СFи обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:

ВС = а, СА = в, АВ = с

(рис.8). Тогда

АD= АВ + ВD= АВ += с +

аналогично определяются и другие медианы:

ВЕ = а + , СF= в +

Так как, в силу условия замкнутости

ВС + СА + АВ = а + в + с =0,

то мы имеем:

АD+ ВЕ + СF= ( с + ) + (а + ) + ( в + ) = ( а + в + с) = х 0 = 0.

Следовательно, отложив от точки В, вектор В1С1 = ВЕ и от точки С1 – вектор С1D1 = СF, мы получим.

А1В1 + В1С1 + С1D1 = АD+ ВЕ + СF= 0.

А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.

Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.

Задача 3.

Доказать, что для любого треугольника имеет место формула

с2 = а2 + в2 – 2ав х соs С(теорема косинусов)

Решение.

Положим: а = СВ, в = СА,

с = АВ (рис.10).

Тогда с = а – в, и мы имеем

(учитывая, что угол между векторами а и в равен С):

с2 = ( а – в )2 = а2 – 2ав + в2 = а2 – 2ав х соs С + в2.

Задача 4.

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Решение.

Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные равенства

АВ + AD= АС, АВ – АD= DВ.