Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

АВ2 + 2 АВ х АD+ АD2 = АС2, АВ2 – 2АВ х АD+ АD2 = DВ2

Сложим эти равенства почленно. Получим:

2АВ2 + 2 АD2 = АС2 + DВ2.

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Задача 5.

Даны три точки:А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D( х; y), чтобы векторы АВ и СDбыли равны.

Решение.

Вектор АВ имеет координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y–1. Так как АВ = СD, то х – 0 = -2, y–1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х = -2, y= 0.

Задача 6.

Даны два вектора АВ и СD, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2), D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD ( 3; 3; 3).

Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

AB хCD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.

Последнее озночает, что АВ СD.

Рассмотренные выше примеры задач показывают, что векторный метод является весьма мощных средством решения геометрических и многих физических (и технических) задач.

Содержание:

1. Что такое вектор?

2. Сложение векторов.

3. Равенство векторов.

4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

5. Свойства операций над векторами.

6. Доказательства и решение задач.

Используемая литература.

1. «Векторы в школьном курсе геометрии». (1976 г.)

В.А.Гусев. Ю.М.Колягин. Г.Л.Луканкин.

2. «Векторы в курсе геометрии средней школы. (1962 г.)

В.Г.Болтянский. И.М.Яглом.