Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде:

F0 и y0 - общее решение соответствующей однородной системы:

(19)

F* и y* - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно.

Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее y0:

(20)

В силу симметрии L их можно менять местами:

(21)

Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F. Аналогично находим уравнение для y:

(22)

Оказалось, что F0 и y0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить в виде:

(23)

Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и x2 для Dk имеем:

(24)

где - это корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21).

Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие общие выражения:

Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений.

Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые.

Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных:

Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела.

2. Прикладная часть

2.1 Физическая постановка задачи.

Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных осей.

Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее -р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру.

2.2 Упругие свойства материала.

Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками:

Е1=13,0 ГПа;

Е2=19,8 ГПа;

Е3=7,8 ГПа;

G12=4,05 ГПа;

G13=6,4 ГПа;

G23=3,2 ГПа;

n13=0.25;

n32=0.14;

n12=0.176;

n23=0.06.

2.3 Математическая постановка задачи.

Уравнения равновесия применительно к нашей задаче, когда напряжения зависят только от двух координат и fi=0, запишутся так:

Граничные условия будут иметь следующий вид:

или в развернутом виде применительно к нашей задаче:

где n - нормаль к контуру отверстия.

2.4 Аналитическое решение.

Решая данную задачу по методу изложенному в первой части с учетом того, что материал у нас ортотропный выясняем что характеристическое уравнение для определения коэффициентов распадается на уравнения 4 и 2 степени:

Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения:

Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточно и искать непосредственно не требуется.

Для решения нашей задачи воспользуемся формулами полученными в работе [1]. Нам надо будет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул.

Определим для начала необходимые нам константы аij:

введем теперь следующие обозначения:

Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е. полагая:

введем еще обозначения для функций, зависящих от параметра :