Практическое значение оптико-механической аналогии связано с использованием ее в электрон­ной оптике, которая занимается формированием и фокусировкой пучков электронов (или ионов) для получения с их помощью изображений и созданием на этой основе электронных и ионных микроско­пов и проекторов.

ЗАКОН ПРЕЛОМЛЕНИЯ В ОПТИКЕ

Закон преломления является одним из основ­ных законов еометрической оптики:

Луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела двух сред. При прохождении света из среды с показателем преломления n1, в среду с показателем преломления n2, от­ношение синуса угла падения к синусу угла преломле­ния равно обратному отношению показателей преломления:

(4.1)

или

(4.1 a)

Первая попытка установить количественно за­кон преломления принадлежала, по-видимому, гре­ческому астроному К. Птолемею (II в. н.э.). Птоле­мей объяснял изменение видимого относительного углового положения небесных светил преломлени­ем световых лучей в атмосфере, то есть атмосфер­ной рефракцией. Составленные им таблицы оказа­лись достаточно точными, но так как его измерения относились к сравнительно небольшим углам на­блюдения, то он пришел к неправильному заключе­нию о пропорциональности углов (а не синусов) па­дения и преломления. Эта ошибка была замечена только через тысячу лет (!) арабским ученым Альгазеном (965-1039), но правильного выражения зако­на он дать не смог.

Около 1270 года итальянский монах Вителиус написал десятитомную (!) оптическую энциклопе­дию. В ней, в частности, содержались таблицы уг­лов падения и преломления при переходе световых лучей из воздуха в стекло, из воздуха в воду и из во­ды в стекло. Однако приведенные там данные были неточными. Они ввели в заблуждение И. Кеплера (1571-1630), пытавшегося найти форму поверхнос­ти, которая преломляет параллельный пучок так, чтобы он сходился в одной точке. Кеплер был бли­зок к правильному результату — гиперболической поверхности вращения, но отказался от него, так как он не согласовывался с данными Вителиуса.

Честь открытия закона преломления принадле­жит голландскому физику В. Снеллиусу (1580-1626) и французскому математику, физику и философу Р. Декарту (1596-1650). К сожалению, книга Снеллиуса, которая содержала этот закон, была вскоре утрачена, так что «Диоптрика» Декарта является первым сохранившимся изданием, содержащим за­кон преломления. После смерти Декарта была поставлена под сомнение независимость его открытия. Утверждали, что Декарт видел книгу Снеллиуса. Возможно, что это было и так, однако сравнительно недавние исследования показали, что Декарт знал закон преломления еще до своей поездки в Голлан­дию, где он познакомился со Снеллиусом.

Закон преломления в форме (4.1) для двух сред, разделенных плоской поверхностью, легко обобща­ется на случай неоднородной среды с изменяющим­ся в пространстве показателем преломления. Имен­но такую среду представляет собой атмосфера. Неоднородность показателя преломления в атмо­сфере связана с неоднородностью плотности возду­ха. Будем считать ради простоты, что слой воздуха плоский и что показатель преломления зависит только от высоты. Тогда мы можем мысленно раз­бить этот слой воздуха на тонкие параллельные слои, в каждом из которых показатель преломления будем приближенно считать постоянным и изменя­ющимся скачком от слоя к слою (рис. 1). С умень­шением толщины этих вспомогательных слоев и увеличением их числа мы будем приближаться к реальной ситуации. При переходе из одного слоя в другой луч света будет испытывать преломление в соответствии с законом (4.1):

(4.2)

На каком-то k-м шаге луч может испытать и полное внутреннее отражение, если окажется, что . Если же полного внутреннего отраже­ния не происходит, то читатель может без труда до­казать, используя (4.2), что угол преломления в i-м слое полностью определяется углом падения в нуле­вом слое и наоборот:

(4.3)

Поэтому истинное угловое положение светила , которое исследовал Птолемей, может быть опреде­лено по наблюдаемому положению с помощью уравнения

(4.4)

Напомним, что у поверхности Земли показатель преломления , а полагается равным точно 1. Конечно, простая формула (4.4) справедлива только для светил, высоко стоящих над горизонтом, когда луч света проходит плоский слой атмосферы и можно пренебречь шарообразностью Земли (рис. 2).

Изменение плотности воздуха (и вместе с ней показателя преломления) с высотой оказывается выраженным гораздо сильнее, если имеет место сильный перепад температуры с высотой. Напри­мер, в холодных странах плотность воздуха понижа­ется с высотой более резко, чем в странах с умерен­ным климатом. Наоборот, в жарких странах сильное нагревание воздуха у поверхности Земли приводит к тому, что воздух внизу оказывается более разре­женным, чем при несколько больших высотах. По­этому в первом случае имеется область, в которой показатель преломления уменьшается с высотой, а во втором увеличивается. При достаточно резком изменении показателя преломления может возник­нуть мираж, обусловленный полным внутренним отражением лучей. Чтобы объяснить это явление, предположим для определенности, что показатель преломления убывает с высотой. Тогда луч, исходя­щий от какого-то предмета на поверхности Земли, испытает полное внутреннее отражение на высоте h, которую можно найти, согласно (4.3), из уравнения

(4.5)

где n(0) — показатель преломления воздуха на нуле­вой высоте; - угол, определяющий начальное на­правление луча относительно вертикали; n(h) — по­казатель преломления на высоте h. Наблюдателю тогда будет казаться, что предмет находится навер­ху - это так называемый верхний мираж. Если же показатель преломления возрастает с высо­той, то может возникнуть нижний мираж: наряду с истинным изображением предмета появится изобра­жение внизу и в перевернутом виде. Даже в наших не слишком жарких условиях мы часто наблюдаем нижний мираж: блес­тящие пятна на нагретом шоссе — отражение неба.

Оптически неоднородные среды представляют и большой практический интерес. Их используют для конструирования так называемых абсолютных оп­тических приборов, то есть оптических систем, да­ющих резкое (без аберрации) изображение трехмер­ного предмета. Они имеют широкое применение для создания безоболочечных световодов - так называемых сельфоков. В частности, имеются сельфоки, созданные на основе кварцевого стекла с пара­болической зависимостью показателя преломления от радиуса (показатель преломления максимален на оси световода). Интересно, что при диаметре такого световода 0,1 мм и длине 1 км по нему можно пере­дать изображение с разрешающей способностью 500 линий/мм.