ЗАДАЧА № 3 В связке 5 разных ключей, и один из них соответствующей двери. Делается попытка открыть наудачу взятым колючем, ключ неподходящий более не используется. Найти вероятность того, что

А) дверь будет открыта 1-ым ключем; Б) Для открытия двери будет использовано не более двух ключей.

Решение:

Используем классическое определение вероятности.

P=m/n , где m – благоприятное число исходов, n- возможное число исходов.

Тогда

P(A)=1/5

Вероятность второго случая складывается из вероятностей двух событий, соответствующих случаю А) и случаю, при котором второй ключ будет подобран правильно (ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СОБЫТИЙ) . Вероятность такого случая P2=(4/5)(1/4)=1/5

В конечном случае, P(Б)=P(A)+P2=2/5

ЗАДАЧА № 4 Вероятность выигрыша по лотерейному билету p=1/7. Какова вероятность того, что обладатель 5 билетов выиграет:

А) по всем 5;

Б) ни по одному;

В) хотя Бы по одному билету?

Решение:

Используем формулу Бернулли :

В нашем случае p=1/7; q=1-p=6/7;n=5

Тогда

А) т. е. это практически невозможное событие

Б)

В) Хотя бы один : P=P(0)+P(1), где

P=0,4627+0,3084=0,7711

ЗАДАЧА № 5 При приёме партии изделий проверяется половина, условие приёмки – наличие брака менее 2 %. Какова вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака, будет принята?

Решение:

Используем формулу Бернулли , в которой положим p= 0,05 ; q=1-0,05=0,95

Проверяем партию из 100/2 =50 изделий, в которой для приема быть не должно более 50*2%=50*(1/50)=1 бракованной детали, тогда искомая вероятность

Для вычисления подобной вероятности лучше использовать теорему Лапласа ( n независимых испытаний с вероятностью появления события p вероятность того, что событие наступит не менее k и не более m раз равна

где Ф(…) – затабулированная функция Лапласа (см. справочное приложение))

Т.е. искомая вероятность находится в районе 11 %.

ЗАДАЧА № 6 Послан курьер за документами в 4 архива. Вероятность наличия нужных документа в I-oм архиве – 0,9 ; во II-ом – 0,95; в III-ем – 0,8 ; в IV – ом – 0,6.

Найти вероятность Р отсутствия документа только в одном архиве.

Решение: Обозначим заданные вероятности наличия документов ,тогда вероятности противоположных событий

Рассматриваемый случай описывается следующими событиями, описанными ниже в таблице

По теоремам сложения и умножения вероятностей (для независимых событий)

P=Q1+ Q2+ Q3+ Q4 ,

P= 0,1*0,95*0,8*0,6+0,9*0,05*0,8*0,6+0,9*0,95*0,2*0,6+0,9*0,95*0,8*0,4=0,4434

т.е. 44,34 %

ЗАДАЧА № 7 С 1-го станка на сборку поступает 40 %, со 2-го – 30 %,

с 3-го – 20 %, с 4-го – 10 %. Вероятности брака для каждого из станков 0,1 %, 0,2 %, 0,25 %, 0,5 % соответственно. Найти вероятность Р того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.

Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности

где P(B1)= 0,4 ; P(B2)= 0,3 ; P(B3)= 0,2 ; P(B4)= 0,1

PB1(A)=0,001 ; PB2(A)=0,002; PB3(A)=0,0025; PB4(A)=0,005. (А – событие состоящее в том, что поступившая деталь на сборку бракованная)

Р= 0,4*0,001+0,3*0,002+0,2*0,0025+0,1*0,005=0,002 = 0,2 %.

ЗАДАЧА № 8 Для участия в спорт. соревнованиях из 1-ой группы было выделено 4 студента; из 2-ой -6 ; из 3-й – 5 студентов. Вероятность того, что студент каждый из групп попадает в сборную института равны 0,5 ; 0,4; 0,3 соотв. для каждой из групп. Наудачу выбранный участник попал в сборную. К какой из 3-х групп он вероятнее всего принадлежит?

Решение: Пусть А – событие состоящие в том, что произвольно выбранный студент попал в сборную . Всего было студентов N=4+6+5=15. Вероятность принадлежности студента к каждой из групп P(B1)=4/15 ; P(B2)=6/15 ; P(B3)=5/15.

Вычислим вероятности того, что студент попавший в сборную принадлежит к той или иной из 3-х групп по формуле Бейеса , где в случае нашей задачи PB1(A)=0,5 ; PB2(A)=0,4; PB3(A)=0,3 , учитывая