Упражнения:

1. (2Ö3 - 4iÖ2) - (Ö27 - iÖ32) + (2 + 2i

Ö3 Ö3 ;

2. (m - n i) + ( n - m i - (( 1 - 1 i) - 1 - 1 i)) ;

n m m n n m m n

3. 2i (1 + Ö3 i) ( -1 + Ö3 i );

2 2 2 2

4. Найдите комплексные числа:

а) z =i + 6i+1 б) z = i13+ i14 + i15 +i16 ; в) z = 3+1 : 2

1+7i 3-i 5(1-i)

г) z = (1+2i)3 - (1-i)3 ; д) z = (2+i)5 е) z = 5+12i + (1+2i)2

(3+2i)3- (2+i)2 8-6i 2+i

ж) z = (-0,5 + i Ö3) 3

2

5. Изобразить геометрически комплексные числа:

а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.

6. Найдите действительную часть комплексного числа:

z= (1+2i) + i19 ;

мнимую : z= (2-i)3 (2-11i).

7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.

8. Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию: z= z1 +z2 +z3, где z1 = 3-2i; z2=-3+4i; z3 = 2- i.

9. Найти два действительных числа Х и У, удовлет их равенствам:

а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у

х х

б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;

в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.

§2. Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме. Решение задач.

Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:

1. Обозначение числовых множеств и их соотношения.

2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?

3. Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соглашения.

4. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.

5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.

6. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).

7. Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.

8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).

9. Можно ли сравнивать комплексные числа?

10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.

Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:

1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;

2. Возвести в степень: а) i123 = . . . ; б) (i-1)2 = . . . .

3. Вычислить: (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .

4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-5i; z2=2+3i.

5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-i; z2=3i.

Упражнения:

1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) a-bi - i b-ai = ;

b+ai a+bi

в) i100 + i98 +i63 =;

2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12.

3. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа

а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными?

4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;

б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z2 + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i;

е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.

5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;

г) z2 + 3/z/ =0; д) z2 + /z/2 =0.

8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:

а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) Jmz < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £5.

7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат?

8. На комплексной плоскости даны точки z1, z2 , z3 являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.

9. Изобразить: а) /z/ £3 б)/z/³ 1 в) /z-1/³ 2

/z-3i/³3 /z-2i/£2 -1< Rez<2

г) 1£ /z-1/£ 2 д) /z/ £3

0£ Jmz£Ö3 1< Jmz <2.

§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Пусть точка А соответствует комплексному

числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется

модулем числа z, а радианная мера угла,

образованного этим вектором с

положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).

Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.

На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j =a/r, отсюда а=r cos j и b=r sin j, где r =Öa2 + b2, т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=r cos j + i r sin j=r(cos j+i sin j) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти радиус r = Öa2 + b2

2. Вычислить tg j1 =|b/a|.

3. По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z.

4. Найти j, причем, если число находится:

а) в I четверти, то j = j1;

б) во II четверти, то j = p - j1;

в) в III четверти, то j = p + j1;

г) в IV четверти, то j = -j1, или j = 2p -j1.

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

z = r (cos j + i sin j).

Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j, заполним таблицу и будем ею пользоваться: