если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Лекция: Элементы общей алгебры

Р. Операции на множествах

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j1,…, jm}, т.е. система А = {М1;j1,…, jm} называется алгеброй. W - сигнатура.

Если M1ÌM и если значения j( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;j1,…, jm} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

1. B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

запись ajb.

1. (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. ajb = bja – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

–; : – некоммут.

умножение мат A×B ¹ B×A – некоммутативно.

3. aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева

(ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

но не abc ¹ abac

Р. Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; jI) и B=(M; jI) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KàM при условии Г(jI)= jI(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции jI b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение jI в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.