.

Можем записать:

,

.

Подставим в и получим:

.

Сравним полученное выражение с формулой:

и получим, очевидно, что:

и для частного вектора получаем формулу:

.

То есть вектора подучастков не просто складываются друг с другом, а с участием матрицы Коши подучастка.

Аналогично запишем и подставим сюда формулу для и получим:

Сравнив полученное выражение с формулой:

очевидно, получаем, что:

и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:

То есть именно так и вычисляется частный вектор – вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор на рассматриваемом участке через вычисленные частные вектора , , соответствующих подучастков , , .

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами , решение задачи Коши предлагается искать (как это известно) при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

,

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

, где .

2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами.

Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:

.

Имеем краевые условия в виде:

Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:

,

,

.

Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:

,

,

.

где - единичная матрица.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений:

.

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

Оказывается, что применять ортонормирование не нужно, так как участки интервала интегрирования выбираются такой длинны, что счет на них является устойчивым.

В точках вблизи узлов решение находится путем решения соответствующих задач Коши с началом в i-ом узле:

.

3. Составные оболочки вращения.

Рассмотрим сопряжения участков составной оболочки вращения.

Пусть имеем 3 участка, где каждый участок может выражаться своими дифференциальными уравнениями и физические параметры могут выражаться по-разному – разными формулами на разных участках:

В общем случае (на примере участка 12) физические параметры участка (вектор ) выражаются через искомые параметры системы обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через вектор ) следующим образом:

,

где матрица - квадратная невырожденная.

При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но на примере точки сопряжения ):

,

где - дискретное приращение физических параметров (сил, моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус единиц на главной диагонали для установления правильного соответствия принятых положительных направлений сил, моментов, перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12», которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях разных сопрягаемых участков) – в уравнениях слева от точки сопряжения и в уравнениях справа от точки сопряжения.