Два последних уравнения при объединении образуют уравнение:

.

В точке сопряжения аналогично получим уравнение:

.

Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли бы записать в объединенном матричном виде систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:

.

Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои дифференциальные уравнения.

Тогда вместо векторов , , , мы должны рассмотреть вектора:

.

Тогда матричные уравнения

,

,

примут вид:

,

,

,

,

.

После перестановки слагаемых получаем:

,

,

,

,

.

В итоге мы можем записать итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

В точках, расположенных между узлами, решение находиться при помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:

.

Применять ортонормирование для краевых задач для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо.

4. Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями.

Рассмотрим случай, когда шпангоут (в точке ) выражается не через дифференциальные уравнения, а через алгебраические уравнения.

Выше мы записывали, что:

Можем представить вектор силовых факторов и перемещений в виде:

,

где - вектор перемещений, - вектор сил и моментов.

Алгебраическое уравнение для шпангоута:

,

где G – матрица жесткости шпангоута, R – вектор перемещений шпангоута, – вектор силовых факторов, которые действуют на шпангоут.

В точке шпангоута имеем:

,

то есть нет разрыва в перемещениях , но есть результирующий вектор силовых факторов , который складывается из сил и моментов слева плюс сил и моментов справа от точки шпангоута.

,

,

,

,

, где ,

что справедливо, если мы не забываем, что в данном случае имеем:

,

то есть вектор перемещений и силовых факторов составляется сначала из перемещений (выше) , а потом из силовых факторов (ниже) .

Здесь необходимо вспомнить, что вектор перемещений выражается через искомый вектор состояния :

,

,

где для удобства было введено переобозначение .

Тогда можем записать:

,

Запишем матричные уравнения для этого случая:

,

,

.