По явному: (10) По неявному: (11) Сходимость обеспечивается при: при явном шаблоне (12)

Расчет затвердевания плоской отливки
Рефераты >> Металлургия >> Расчет затвердевания плоской отливки

По явному:

(10)

По неявному:

(11)

Сходимость обеспечивается при:

при явном шаблоне (12)

-точность аппроксимации

(13)

Схема апроксимации

Аппроксимируем задачу 1-9 на четырех точечном неявном шаблоне

Начальные условия:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Граничные условия:

(19)

(20)

(21 a)

=> (21)

Условие идеального контакта на границе отливка форма

(22)

Расчет временного шага :

Величина -var рассчитывается из условия, что за промежуток времени фронт перейдет из точки nf в точку nf+1

Расчет ведут итерационными (пошаговыми) методами

Строим процедуру расчета следующим образом:

Вычисляем нулевое приближенное для каждого шага,

За шаг итерации примем S,

Нулевое приближение S=0.

(23)

Уточняем шаг: S+1

(24)

d – параметр итерации от 0 до 1

для расчета возьмем d=0.

Число S итераций определяется заданной точностью:

Временного шага (25)

И по температуре (26)

et и eT – заданные точности по времени и температуре

et=0,01c, eT=0,1°C

DtI=0,01c – время за которое образовалась корочка.

Описанный итерационный процесс называют ''Ловлей фазового фронта в узел''.

Можно задать Dх, DtK=const, тогда неизвестно будет положение фронта, при помощи линейной интерполяции.

Расчет температурных полей:

Метод «прогонки»:

Считается наиболее эффективным для неявно заданных конечно-разностных задач.

Суть метода:

Запишем в общем виде неявно заданное конечноразностное уравнение второго порядка (14) в общем виде:

AiTi-1 – BiTi + CiTi+1 + Di = 0 ; i = 2, 3, 4, …n-1 (27)

действительно для всех j и k.

и краевые условия для него:

T1 = p2T2 + q2 (28 а)

Tn = pnTm-1 + qn (28 б)

Ti = f(Ai; Xi; tk) - сеточное решение.

Ai, Bi, Ci, Di – известные коэффициенты, определенные их условий однозначности и дискретизации задачи.

Решение уравнения (27) – ищем в том же виде, в котором задано краевое условие (28 а)

Ti = аi+1Ti+1 + bi+1 ; i = 2, 3, 4, …n-1 (29)

Ai+1, bi+1 – пока не определенные «прогоночные» коэффициенты (или коэффициенты разностной факторизации)

Запишем уравнение (29) с шагом назад:

Ti-1 = аiTi + bi (30)

Подставим уравнение (30) в уравнение (27):

Ai(aiTi + bi) – BiTi + CiTi+1 + Di = 0

Решение нужно получить в виде (29):

(31)

Найдем метод расчета прогоночныхкоэффициентов.

Сравним уравнение (29) и (31):

(32)

(33)

(32),(33)– рекуррентные прогоночные отношения позволяющие вычислить прогоночные коэффициенты точке (i+1) если известны их значения в точке i.

Процедура определения коэффициентов аi+1 и bi+1 называется прямой прогонкой или прогонкой вперед.

Зная коэффициенты конечных точек и температуру в конечной точке Тi+1 можно вычислить все Тi.

Процедура расчета температур называется обратной прогонкой. То есть, чтобы вычислить все Т поля для любого tk нужно вычислить процедуры прямой и обратной прогонки.

Чтобы определить начальные а2и b2, сравним уравнение (29) и уравнение (28 а):

a2 = p2; b2 = q2

Запишем уравнение 29 с шагом назад:

Tn = pnTn-1 + qn