В.Б. Кирьянов. "Задача равновесий"
В частности:
|
(q 1) t = |
q 11 ¼ q 1m |
t = ( q 11 ¼ q 1m) и (p1) t = ( p1 1 ¼ p1 m) t = |
p1 1 ¼ p1 m |
. |
Транспонирование произведения матриц доопределяется произведением транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:
(a c )t = (c )t (a )t;
в частности:
( p2 a ) t = a t (p2) t и (a q 1) t = (q 1) t a t ,
а также
(áp1 , q 1ñ) t = á(q 1) t, (p1) tñ .
Теперь, двойственная часть задачи равновесного управления, полученная нами в строчных векторах p1 и p2 с умножением на матрицу a справа:
p2 : max áp2 , q 2ñ при p2 a £ p1 ,
в транспонированном виде записывается подобно своей прямой части
q 1 : min áp1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2
в столбцовых векторах (p1)t и (p2)t с умножением на транспонированную матрицу a t слева:
(p2 )t : max á(q 2)t, (p2)tñ при a t (p2) t £ (p1 )t.
1.3. Задача выпуска
1.Табличное представление. Задача выпуска является "обратной" по отношению к предыдущей задаче затрат задачей равновесного производственного управления. Процессом производства в ней является процесс сборки ряда взаимозаменяемых сложных изделий из нескольких видов простого сырья. Примерами задачи выпуска являются задачи оптимального планирования сборки изделий из нескольких видов комплектующих узлов, в частности:
- строительства из нескольких видов строительных материалов
- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,
- времени работы рабочих нескольких специальностей,
и им подобные задачи.
При использовании m видов сырья для производства n видов изделий во всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затрат c, составляющие которой
ci j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] ³ 0 ,
имеют обратные количественные размерности по отношению к количественным размерностям матрицы выпуска a : [ aj i] = количество j-изделий / на единицу i-сырья.
В условиях заданного вектора предложения сырья q 1 и заданных цен p2 на производимые изделия в количественной (прямой) части обратной задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий q 2 , а в ценовой (двойственной) части - наименее расходные цены p1 потребляемого сырья:
|
q 21 ¼ q 2n | ||
|
p1 1 ¼ p1 m |
c1 1 ¼ c1 n ¼ ¼ ¼ cm1 ¼ cm n |
q 11 ¼ q 1m |
|
p21 ¼ p2 n |
Формальным отличием приведенной таблицы от таблицы предыдущей задачи является, как мы видим, замена сырьевых переменных "издельными" и наоборот.
2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат ci j единиц i-сырья на каждую единицу производимого j-изделия, на выпуск q 21 , ¼ , q 2n единиц изделий всех n видов потребуется q 11 , ¼ , q 1m :
q 11 = c1 1 q 21 + ¼ + c1 n q 2n º ác1 , q 2ñ ;
. . .
q 1m = cm 1 q 21 + ¼ + cm n q 2n º ácm , q 2ñ ,
единиц сырья каждого вида. n-мерные строки матрицы затрат, служащие коэффициентами балансовых соотношений:
c1 = ( c1 1 ¼ c1 n );
. . .
cm = ( cm 1 ¼ cm n ),
есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент производимых из него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:
q 1 = q 1(q 2) = c q 2 ,
описывает линейный процесс пересчета предложения выпускаемых изделий в спрос на потребляемое для их производства сырье.
Допустимым является такое предложение изделий, при котором спрос на потребляемое сырье не превосходит его предложения:
q 1 = c q 2 £ q 1.
Доход такого производства, выражаемый стоимостью M(q 2) продаваемых по ценам p2 предлагаемых количеств изделий:
M(q 2) = p2 1 q 21 + ¼ + p2 n q 2n º áp2 , q 2ñ ,
называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама же задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых планов производства найти план наибольшей стоимости:
|
q 2 : á p2 , q 2ñ = max á p2 , q 2ñ q 2 ½ c q 2 £ q 1 | . |
В сущности, все задачи равновесного управления являются определениями равновесных значений своих искомых неизвестных.
3.Ценовая часть задачи выпуска. Одновременно, затраты на каждую единицу j-изделия ci j единиц сырья всех m видов по ценам p1 i: i=1, ¼ , m, сообщают выпускаемым изделиям цены p2 1 , ¼ , p2 n :
p2 1 = p1 1 c1 1 + ¼ + p1 m cm 1 º áp1 , d 1ñ ;
. . .
p2 n = p1 1 c1 n + ¼ + p1 m cm n º áp1 , d nñ .
m-мерные столбцовые векторы матрицы затрат:
| d 1 º | c1 1 ¼ cm 1 | , ¼ , d n º | c1 n ¼ cm n | , |
есть векторы затрат сырья на выпуск изделия каждого вида. Ценовые балансовые соотношения
p2 = p2(p1) = p1 c
описывают осуществляемое матрицей затрат двойственное линейное преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.
При заданных продажных ценах изделий вложенное в них сырье приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:
p2 = p1 c ³ p2 .
Скачать реферат
