Как и в задаче затрат полученные ценовые условия равновесия выражают необходимое условие продаж: покупка готовых изделий не должна быть дороже их самостоятельного изготовления.

Стоимость расходуемого сырья:

Mdual(p1) = p1 1 q 11 + ¼ + p1 m q 1m º áp1 , q 1ñ ,

составляет расход производства. Ищутся допустимые цены сырья, сообщающие его стоимости наименьшее значение:

4.Каноническая пара задач. Итак, мы описали все четыре линейные статические задачи равновесного производственного управления:

с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья:

q 1 : min áp1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2 ,

и двойственной ей задачей оптимального планирования цен выпускаемых изделий:

p2 : max áp2 , q 2ñ при p2 a £ p1 ;

с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий:

q 2 : max á p2 , q 2ñ при c q 2 £ q 1 ,

и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья:

p1 : min á p1 , q 1ñ при p1 c ³ p2 .

Как мы видим, обе задачи обладают "перекрестной" симметрией и формально, то есть безотносительно к экономическому содержанию, прямая и обратная пары задач тождественны друг другу с точностью до - 1)- переобозначения своих величин и -2)- перестановки между собой их взаимно-двойственных частей:

min á p1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2 max á p2 , q 2ñ при c q 2 £ q 1,

max á p2 , q 2ñ при p2 a £ p1 min á p1 , q 1ñ при p1 c ³ p2 .

Точная взаимозаменяемость задач достигается:

- заменой технологических матриц:

c « a ,

- и переобозначением количественных и ценовых векторов:

(p1; 2 )t « q 1; 2 .

При этом прямая часть задачи затрат становится равносильной двойственной части задачи выпуска, а двойственная часть первой - прямой части второй.

Будем называть взаимно-двойственную пару задач прямого (затратного) вида с прямой (количественной) частью на минимум и двойственной (ценовой) частью на максимум:

- канонической парой линейных задач статического равновесия, а их переменные q 1 и p2 - канонически сопряженными переменными.

1.4. Задача равновесия

Физическое содержание задачи равновесия. В трехмерном случае: m, n £ 3, наша задача имеет простое физическое истолкование. Во внешнем силовом поле постоянной во времени и пространстве напряженности p1 скалярная линейная функция координат L(q 1):

L(q 1) = áp1 , q 1ñ ,

является потенциальной энергией находящегося в точке q 1 пробного тела единичной массы (заряда). Все налагаемые на перемещения пробного тела дополнительные ограничения называются в механике связями. Ограничения нашей задачи

q 1: a q 1 ³ q 2

задают в пространстве ее переменной q 1 выпуклую многогранную область допустимых перемещений. В итоге, каноническая задача оптимального производственного управления:

q 1: min á p1 , q 1ñ при a q 1 ³ q 2 - ?

- физически представляет собою задачу вычисления в ограниченной области простран­ства координат q 1 точки наименьшей потенциальной энергии L(q 1) пробного тела единичной массы в постоянном внешнем силовом поле p1 .

Точка наименьшей потенциальной энергии называется точкой статического равновесия и задача ее определения - задачей статического равновесия. По этой причине линейную задачу оптимального производственного планирования мы будем называть так, как об этом заявлено в названии, а именно - линейной задачей статического равновесия.

Особенностью линейных задач является независимость их свойств от геометричеких размерностей их величин. Это обстоятельство используется для распространения трехмерной терминологии на линейные задачи равновесия любой пространственной размерности.