Тогда на одних и тех же числовых значениях можно рассмотреть зависимости между отдельными составляющими структуры, т. е. найти каждый из компонент действия, если известно два других. Получаем в общем виде зависимость: I=II:III; II=I·III; III=.

При необходимости решить конкретную задачу, например, найти от числа 60 кг, вначале выясняется, какие элементы структуры задачи нам известны: что такое 60 кг и что такое .

Получается запись:

Далее можно воспользоваться полученной ранее зависимостью: II = I·III. При выполнении упражнений в указанном разделе необходимо рассмотреть особые случаи, когда все число или значение дроби представлены правильной дробью и когда число в третьей графе превышает единицу.

Постепенно, с увеличением опыта, необходимость в материализованной опоре у учащихся отпадает, действие производится в громкоречевой форме, а затем и в форме внутренней речи, с ориентацией на ранее приведенную схему, но которой теперь перед глазами нет.

Согласно учению о поэтапном формировании умственных действий, контроль за их выполнением должен осуществляться со стороны учителя на этапах материализации и громкой речи до появления самоконтроля. Понятно, что в условиях классно-урочной системы пооперационный контроль со стороны учителя за действиями каждого ученика осуществить невозможно. Но возможна показательная корректировка отдельных ответов учащихся.

Использование идей теории поэтапного формирования умственных действий в школе дает ощутимые результаты, но в то же время эта теория требует специальных усилий по ее перенесению в условия работы со всем классом.

Представляется, что компактный метод использования формулировок правил, определений и теорем является одной из возможных модификаций использования теории поэтапного формирования умственных действий. Из опыта работы учителей выделены два метода применения определений, теорем, правил.

Первый из них - раздельный, когда учащиеся несколько раз повторяют изученную формулировку и лишь затем отрабатывают ее в упражнениях. Этот метод сравнительно часто используется в школе, т. к. он прост в организационном отношении. Он оправдан, если изучаемые формулировки достаточно просты, такие как, например, правило умножения обыкновенных дробей или определение медианы треугольника.

Если же формулировка не совсем простая, учащиеся не успевают ее осознать и запомнить и выполняют упражнения без опоры на теорию. Если изучаемая формулировка достаточно сложная, то ее запоминание облегчается, если оно проходит одновременно с формированием умения по применению этой формулировки. Эта закономерность, заключающаяся в том, что понимание материала является важнейшим условием его запоминания, и используется в другом методе, названным компактным.

Суть компактного метода заключается в том, что запоминание и умение использовать формулировку осуществляются одновременно. При этом необходимо учесть еще одну закономерность усвоения, что понимание затрудняется, если установка на полноту и точность запоминания появляется до того, как материал понят в целом. Например, бесполезно требовать от учащихся формулировок правила сложения двух дробей с разными знаменателями или теоремы о вписанном угле, если они не отработаны при выполнении соответствующих упражнений.

При этом предлагается следующая последовательность действий. Вначале учитель разбивает изучаемую формулировку на составные части. В определении выделяются существенные свойства, в теореме - отдельные части условия и заключения, а в правиле - отдельные шаги действия. Затем учитель показывает образец действия - читает формулировку по частям и одновременно выполняет упражнение. При этом непроизвольное запоминание, которое имеет место в условиях активных форм работы, оказывается более прочным, чем произвольное, опирающееся на пассивные формы работы.

ПРИМЕР. Допустим, учащиеся вместе с учителем вывели формулу квадрата суммы двух выражений. Полученная формулировка, представленная в учебном пособии, разбивается на составные части. Моментом материализации умственного действия при этом является проведение вертикальных черточек в тексте правила, осуществляющих разбиение: «Квадрат суммы двух выражений // равен квадрату первого выражения, // плюс удвоенное произведение первого и второго выражений //, плюс квадрат второго выражения».

Далее следует образец выполнения упражнения: учитель читает формулировку по частям и после прочтения каждой части выполняет соответствующую операцию. Например, выполняется упражнение (а + 2в)2. Учитель читает первую часть правила: «Квадрат суммы двух выражений», указывает на соответствующие обозначения квадрата и суммы и отмечает, что в данном случае имеет место полученная формула и что первое выражение -это а, а второе - 2в. Затем учитель читает дальше: «Равен квадрату первого выражения» и записывает промежуточный результат и т. д.

После этого ученик у доски выполняет другое упражнение аналогичным образом. Как можно видеть, такая работа позволяет одновременно запоминать формулировку и учиться ее применять. Компактный метод ориентирует учащихся при комментировании выполнения упражнений не на буквальное проговаривание записи, а на произнесение соответствующих формулировок по частям и реализацию каждой части формулировки в конкретном случае.

Итак, нами рассмотрен ряд требований, которые целесообразно предъявить к системе упражнений, исходя из общих педагогических принципов обучения. Эти требования не исчерпывают всего многообразия проблем, связанных с упражнениями, но позволяют планомерно и целенаправленно подходить к отбору и построению системы упражнений.