Рассмотрим правило сложения чисел с разными знаками в следующей форме: чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Этот алгоритм требует от школьника доработки, т. к. в нем не обозначены шаги: найти модуль каждого числа; сравнить модули и выделить число с большим модулем; определить знак числа, имеющего больший модуль. Эти шаги отдельными учащимися легко выполняются, а для других их выделение представляет существенные трудности.

В отдельных случаях операции, входящие в состав действий, приведены в учебниках в описательной форме или показаны на примерах, и для осуществления действий учащимся требуется выделить операции - отдельные шаги действия самостоятельно, как, например, при составлении пропорций при использовании подобия треугольников.

Проблема составления алгоритмов по изученному материалу связана с рядом важнейших проблем обучения математике: применение теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Под алгоритмическим мышлением понимается особый аспект культуры мышления, характеризующийся умением составлять и использовать различные алгоритмы.

Составлению, выделению алгоритмов необходимо специально обучать.

Это может происходить с помощью проведения обобщений при решении нескольких аналогичных задач. Необходимо обучать чтению формул словами, необходимо обучать переходу от речевой, формы в аналитическую и обратно, необходимо обучать строить программы действий в тех случаях, когда материал в книге или в рассказе предъявлен в описательной форме. Это и будет означать обучение применению теоретических знаний на практике и развитие алгоритмического мышления. Необходимо также обучать разворачивать, дополнять алгоритмы, предъявленные в готовой форме.

При использовании готовых алгоритмов целесообразно пользоваться компактным методом. Метод состоит в том, что (алгоритм) правило произносится по частям, на которые оно разбито по смыслу, и каждая операция выполняется вслед за произнесением соответствующего текста (пример приведите самостоятельно). Тем самым обеспечивается сознательное усвоение соответствующего правила. Компактный метод противопоставляется раздельному, когда произнесение правила целиком и его применение следуют друг за другом.

Вторая рекомендация по использованию алгоритмов вытекает из положений теории деятельности. Она заключается в требовании проведения всех операций, содержащихся в алгоритме (правиле) во внешнем плане и в развернутой форме, т. е. в написании и проговаривании всех операций без пропусков.

Типовые (полуалгоритмические) задачи и методы их решения

Рассмотрим две задачи, которые можно решить с помощью одной и той же теоретической базы - с помощью векторов.

ЗАДАЧА 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Пусть ABCD - ромб. Для доказательства введем два неколлинеарных вектора: ВА и ВС и выразим векторы АС и ВD, расположенные на диагоналях, через введенные:

Чтобы доказать перпендикулярность векторов АС и BD, достаточно доказать равенство нулю их скалярного произведения.

Равенство нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов говорит о том, что косинус угла между ними равен 0°, а значит, угол между векторами - прямой, т. е. прямые, на которых располагаются рассматриваемые векторы, перпендикулярны.

ЗАДАЧА 2. Доказать с помощью векторов свойство средней линии трапеции.

Пусть АВСО - трапеция, точки Е и F-середины отрезка АВ и CD соответственно.

Введем векторы и выразим вектор EF из двух многоугольников:

; .

Сложим почленно полученные равенства:

,

.

Последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: т. к. векторы ВС и AD коллинеарны по определению трапеции, то и вектор EF также коллинеарен им, т. к. является линейной комбинацией этих векторов, а значит, отрезок EF параллелен основаниям трапеции. Т. к. векторы ВС и AD сонаправлены, то длина вектора равна сумме длин векторов ВС и AD и, следовательно, длина вектора EF равна полусумме длин векторов ВС я AD . А значит, длина отрезка EF соответственно равна полусумме длин отрезков ВС и AD .

Что можно заметить на примере решения приведенных двух задач? При их решении можно выделить одинаковую схему - одинаковые шаги решения, а именно:

введение удобным образом векторов;

переформулирование условия и требования задачи на язык векторов;

решение вновь сформулированной задачи с помощью векторного аппарата (определений, законов действий и т. д.);

интерпретирование результатов, полученных на языке векторов, на обычный геометрический язык.

По выделенной схеме решается как первая, так и вторая задача. По этой же схеме с помощью векторного аппарата можно решить многие геометрические задачи. Перечисленные шаги образуют прием решения задач векторным методом.

Этот прием учитель может представить ученикам в готовом виде. Но большую познавательную ценность имеет работа по самостоятельному выделению учащимися под руководством учителя шагов приведенного приема. Некоторые методисты отрицательно относятся к решению типовых задач как к натаскиванию. Однако учащиеся, знакомые с приемом, умеют решить не одну конкретную задачу, а целый класс задач, к которым они подходят с более высоких позиций обобщения учебного материала. Материал лучше структурируется, повышаются его уровень системности, возможности учащихся при решении задач. Ученик, не владеющий наиболее распространенными типами задач, не сможет решить ни одной нестандартной задачи или будет делать это со значительно большим усилием, чем тот, у кого в запасе владение многими типами задач.

Четыре выделенных шага образуют прием по решению задач данного типа. Этот прием можно отнести к полуалгоритмическим приемам, т. к. знание его не обязательно приведет решающего к получению верного результата, но может существенно облегчить поиск. Алгоритмические предписания являются той базой, владение которой облегчает решение задач.

В настоящее время учителями и методистами разработано много готовых приемов решения задач, но осталось место и для творчества.

Как организовать работу по выделению приема решения задач и его применению? Подготовка к приему может быть организована задолго до явного введения самого приема. Учащиеся решают задачи, а учитель старается акцентировать их внимание на средствах решения, на последовательности одних и тех же шагов. Этот период можно назвать пропедевтическим, подготовительным в формировании приема. Следующий этап - этап явного введения приема (предписания) с помощью учащихся на основе сравнения процессов решения выделенных задач. Далее организуется работа по закреплению шагов предписания и применению всего приема.