Среди плоскостей данного множества есть такие, которые пересекают фигуру Ф. Первая из этих плоскостей имеет координату а, а последняя – b. Таким образом, фигура Ф заключена между плоскостями (a) и (b), другими словами, задана на отрезке [a,b]. Конечно, далеко не всегда фигура задана на отрезке. Она может быть задана на интервале, на дискретном множестве и т. п. Но в курсе геометрии средней школы можно ограничиться рассмотрением фигур, заданных на отрезке.

Упражнения:

1. Дан куб ABCDA1B1C1D1, длина ребра которого равна 3. В качестве плоскости выбрана плоскость ABCD, а в качестве Ох – прямая АА1. Найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b).

2. Дана пирамида ABCD. В качестве плоскости выбрана плоскость BCD, а в качестве оси Ох – высота АМ пирамиды. Найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b), если АМ=6.

3. Дан шар радиуса 8 см с центром в точке К. В качестве плоскости выбрана плоскость на расстоянии 10 см от центра шара. Задайте ось Ох, найдите значения a и b и укажите плоскости (a) и (b).

4. Постройте функцию S(x) для шара радиуса 8 см, если плоскость (х) проходит через центр шара.

5. Постройте функцию S(x) для конуса с высотой Н и радиусом основания R, если в качестве плоскости выбрана плоскость, параллельная основанию и проходящая через вершину конуса.

После решения этих упражнений формулируется следующее определение: объемом фигуры Ф называется интеграл от a до b функции S(x): .

Упражнения:

6. Запишите интегральную формулу для вычисления объемов фигур, заданных в упр. 4, 5.

7. Запишите формулу для вычисления объема цилиндра высоты Н и радиуса R, если в качестве плоскости выбрана плоскость основания цилиндра.

8. Запишите формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями m, p, n (плоскость задайте сами).

Урок 4

Тема урока: интегральная формула для вычисления объема фигуры.

Цель урока: закрепить изученное на предыдущем уроке и провести доказательство обоснованности данного определения объема.

Упражнения:

1. Выведите формулу для вычисления объема призмы с высотой Н и площадью основания S.

Решение. Здесь a=0, b=H, S(x)=0. Следовательно, .

2. Выведите формулу для вычисления объема пирамиды с высотой Н и площадью основания Q (аналогично тому, как это делалось для конуса).

Решение. Выберем в качестве плоскости плоскость, параллельную основанию и проходящую через вершину. Тогда а=0, b=H, . Поэтому S(x)=. Следовательно, .

Так как объемы фигур должны удовлетворять ранее перечисленным свойствам объемов, то надо показать, что при таком определении объема эти свойства выполнены.

Упражнения:

Выпишите интегральные формулы и выведите формулы для вычисления объема:

1. Призмы с высотой Н и площадью основания S.

2. Пирамиды с высотой Н и площадью основания Q.

3. Цилиндра с высотой Н и радиусом основания R.

4. Конуса с высотой Н и радиусом основания R.

5. Шара радиуса R.

После изучения всех формул для нахождения объема тел следует провести проверочную работу в виде теста.

Тест (объем прямоугольного параллелепипеда) [34]

1. Выберите неверное утверждение.

а) За единицу измерения объемов принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков;

б) тела, имеющие равные объемы, равны;

в) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений;

г) объем куба равен кубу его ребра;

д) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.

а) 252 см3; б) 126 см3; в) 164 см3; г) 462 см3; д) 194 см3.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ которого равна 6. Через диагональ основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость под углом 450 к нижнему основанию. Найдите объем параллелепипеда.

а) 108; б) 216; в)27; г)54; д) 81.

4. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 600. найдите объем параллелепипеда.

а) 390см3; б) 390см3; в) 780см3; г) 780см3; д) 780 см3.

Тест (объем призмы)

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2см, а высота – 5 см. найдите объем призмы.

а) 15см3; б) 45 см3; в) 10см3; г)12см3; д) 18см3.

2. Выберите неверное утверждение.

а) Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

в) объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту;

г) объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;