д) объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы.

3. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14 см.

а) 720см3; б) 360см3; в) 180см3; г) 540см3; д) 60см3.

4. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10, 12. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 600. найдите объем призмы.

а) 480; б) 960; в) 240; г) 480; д) 240.

Тест (объем пирамиды)

1. Объем правильного тетраэдра равен 9 см3. Найдите его ребро.

а) 4 см; б) 2см; в) 3см; г) 6 см; д) 3 см.

2. Выберите неверное утверждение.

а) объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания на высоту;

б) объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле , где а – ребро тетраэдра;

в) объем усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади основания равны S и M, вычисляется по формуле

г) объем правильной треугольной пирамиды, ребро которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом , вычисляется по формуле ;

д) объем правильной шестиугольной пирамиды, ребро которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом , вычисляется по формуле .

3. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 3 см2 и 12 см2, а высота равна 2 см.

а) определить нельзя; б) 7 см3; в) 42 см3; г) 14 см3; д) 56 см3.

4. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см, АС = 13 см. Найдите объем пирамиды, если МВАВС и МВ = 10 см.

а) 300 см3; б) 260 см3; в) 780 см3; г) определить нельзя; д) см3.

Углубленное изучение геометрии по учебнику [6]

Рассмотрим методические рекомендации для углубленного изучения темы «Объемы многогранников». В настоящее время для данного обучения в школах используют учебник [6], так как именно он рекомендован (допущен) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях. Теоретический материал учебника разбит на две части – основную и дополнительную. Основная часть содержит теоретические сведения (аксиомы, определения, теоремы); материал, в котором рассказано о значении наиболее важных геометрических результатов, о различных применениях стереометрии в других науках, технике, искусстве, быту, об истории геометрии.

В дополнительном материале с большей глубиной и подробностью обсуждаются самые трудные вопросы курса. Этот материал рассчитан на учащихся, особенно интересующихся математикой.

Глава V данного учебного пособия посвящена объемам тел многогранников. Эта глава традиционная для школьного курса геометрии. И построение ее как будто бы традиционное: сначала выработка общего понятия, затем вывод конкретных формул. Однако есть и характерные отличия.

1. Четко выясняется множество фигур, которые имеют объем в смысле данного определения.

2. Впервые в школьном курсе (и в такой формулировке) дается теорема о существовании и единственности объема.

3. Теорема о представлении объема интегралом рассмотрена с помощью наглядных соображений, так как полное доказательство «сложно и требует расширения понятия интеграла», однако рассуждение приведено тактично и не нарушает уверенности ученика в возможность доказать это утверждение.

4. В данном учебнике выводится формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда.

Объем прямого цилиндра

В пункте 26.1 высказаны наглядные соображения, «доказательство математического утверждения с точки зрения физики». С учетом уровня класса можно предположить несколько вариантов дальнейших событий:

а) этим и ограничиться;

б) предложить желающим разобрать пункт 26.2 самостоятельно и ответить индивидуально на оценку;

в) предложить отдельным учащимся сделать сообщение о теореме на уроке. (Для этого теорему можно разбить на 4-5 частей);

г) предложить учащимся разобраться в теореме самостоятельно, а учитель организует по ней семинар в классе;

д) доказать теорему и попросить повторить «сильных» учеников на следующем уроке. И т. д.

Представление объема интегралом

С точки зрения методической представляется более удобным дать формулировку теоремы после доказательства, а сам вывод разбить на четыре части, примерно соответствующие бытовавшему когда-то алгоритму вывода формул и теорем дифференцирования:

1) х; 2) V; 3) ; 4) V’(x).

Первый способ рассуждения в теореме более аналитичен, а второй наглядный, и здесь можно «задействовать» теорему о сжатой переменной.

Объемы некоторых тел

Содержание параграфа – независимый вывод формул объемов четырех конкретных видов тел. При желании этот набор можно дополнить выводом формул объемов усеченного конуса (пирамиды) и шарового сегмента. Это позволяет провести с учениками групповую работу. Схема проведения таких работ состоит из нескольких этапов.

I этап. Класс разбивается на группы по шесть человек. Каждому участнику группы дается задание изучить вывод одной из формул (естественно, задания всем в группе различные). Четыре ученика учат пункты § 27, а двое получают от учителя тексты, где выводятся формулы объемов усеченного конуса и шарового сегмента. (Учитель может заменить их другими формулами или вообще не давать других формул, но тогда группа уменьшается до четырех человек и меняется время дальнейшей работы.) Изучив соответствующую теорему, ученик записывает ее в конспект и отыскивает ученика из своей группы, также закончившего запись. Они рассказывают друг другу каждый свою теорему, записывая коротко вывод в конспекте. После этого каждый из них задает вопросы другому и отвечает на его вопросы. После этого пара «распадается», и каждый снова ищет свободного участника своей группы и т. д. На все это уходит два часа. На дом ученики получают задание вывести оставшиеся формулы.