Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Пример. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем то одним?

Решение.

1 способ.

1) 82+32+78=192 чел. – удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192÷2=96 чел. – поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96_32=64 чел. – поют в хоре;

4) 96-78=18 чел. – занимаются танцами;

5) 96-82=14 чел. – занимаются художественной гимнастикой.

2 способ.

1) 82-32=50 чел. – на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;

2) 50+78=128 чел. – удвоенное число студентов поющих в хоре;

3) 128÷2=64 чел. – поют в хоре;

4) 78-64=14 чел. – занимаются художественной гимнастикой;

5) 82-64=18 чел. – занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре; 14 студентов занимаются художественной гимнастикой; 18 студентов занимаются танцами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений, в основе составления которых лежат различные соотношения меду данными и искомыми.

Пример. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справиться с заданием за 2 дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1 способ. Пустьx д./день – первоначальная производительность рабочего. Тогда (x+10) д./день – новая производительность, 3x д. – число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3x=2(+10), решив, которое найдем x=20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2 способ. Пусть x д. – число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда x/2 д./день – новая производительность, (x/2-10) д./день – первоначальная производительность рабочего. По условию получаем уравнение x=3(x/2-10), решив которое найдем x=60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день, 60 деталей.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее построения используются различные построения или свойства фигур.

Логический метод. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задаче о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».

Практический метод. решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.д.)

Т.к. тема нашей курсовой решение текстовых задач алгебраическим способом, именно его рассмотрим более подробно.

Алгебраический метод решения задачи позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличаются друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того математического рассуждения, одних и тех же соотношений, т.е. имеют одну и туже математическую модель.

Рассмотрим классификацию задач решаемых алгебраическим способом по фабуле, из-за многообразия уравнений и неравенств [6].

Задачи на движение

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути, скорости и времени. Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении. В этих задачах весьма полезно делать иллюстрированный чертеж, который помогает в составлении уравнений и неравенств.

Данную группу задач, можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу, 2) в одном направлении(«вдогонку»), 3) в противоположных направлениях, 4) по замкнутой траектории, 5) по течению реки.

Задачи на работу.

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе, времени, в течение которого производится работа, производительности – работе, произведенной в единицу времени. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.

Задачи на работу можно отнести к группе задач на движение, т.к. в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по сюжету, фабуле эти задачи совершенно отличаются.

Задачи на смеси и проценты.

К этой группе задач относятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты

Мы рассмотрели некоторые классификации задач, а сейчас мы бы хотели рассмотреть более подробно решение задач с помощью математического моделирования.

§3. Решение задач выделением 3-х этапов математического моделирования

Математики отличаются друг от друга тем, что говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Используя математический язык можно составлять математические модели реальных ситуации. В процессе решения задачи выделяются три этапа математического моделирования: 1) составление математической модели, 2) работа с математической моделью, 3) ответ на вопрос задачи. Рассмотрим некоторые примеры, в которых рассматриваются этапы математического моделирования.

Задача.

Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?