Динамика твердого тела
Рефераты >> Физика >> Динамика твердого тела

где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{{\displaystyle 0}'} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{{\displaystyle 0}'} . $

(3.5)

Тогда

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{{\displaystyle 0}'} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} - {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf p}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}} \right) - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf R}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}\times {\displaystyle \bf p} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{{\displaystyle 0}'} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} - {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \bf F}} \right) - {\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p} $

(3.6)

Величина ${\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf R}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}$есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ. Учитывая (3.4), получим

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} - {\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p}. $

(3.7)

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то ${\displaystyle \bf p} = m{\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}}$($m$ - масса тела), ${\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p} = 0$и ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} ,$то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении ${\displaystyle \bf L}_{0}$следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf F}}$не зависит от угловой скорости тела, а $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf M}}$- от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel} . $

Здесь $L_{\parallel}$- это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси. $M_{\parallel}$- это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с $L_{\parallel} ,$значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), $M_{\parallel} = rF\cos \alpha = \rho F,$где $F$- составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, $\rho$- плечо силы $F$относительно оси.

Рис. 3.4.

Поскольку $L_{\parallel} = J\omega$($J = \int {\displaystyle \rho ^{2}} dm $ - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel}$можно записать

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}\left( {\displaystyle J\omega} \right) = M_{\parallel} $

(3.8)


Страница: