.

Окончательно имеем, что коэффициент восстановления

,

а скорость шаров соответственно

Поскольку тангенциальные составляющие скоростей гладких шаров при столкновении не меняются, то разность их суммарной кинетической энергии в начале и в конце удара

Полагая К = 0 (абсолютно неупругий удар) находим, что потерянная кинетическая энергия

,

а общая нормальная составляющая скорости шаров в конце удара

.

Полагая К = 1 (абсолютно упругий удар) находим, что потеря кинетической энергии

,

а нормальные составляющие скоростей шаров в конце удара

.

Если, например, масса шара , то находим, что

, ,

и, следовательно, можно записать:

,

т.е. относительная нормальная скорость шаров в этом случае изменяет свой знак. Кроме того, при скорость первого шара после удара , а второго шара , т.е. такая же, как при ударе о неподвижную стенку.

Пусть массы обоих шаров одинаковы. В этом случае

, ,

т.е. шары при соударении обмениваются своими скоростями.

§2. Допустимые значения ударного импульса

Пусть система двух твердых тел совершает движение под действием конечных (неимпульсивных) сил. Каждое из тел может занимать произвольное положение в пространстве. Единственное ограничение состоит в невозможности одновременного занятия точками двух тел одинаковых положений. Когда тела сталкиваются, они пытаются нарушить это условие. Однако появляющиеся ударные реакции изменяют распределения скоростей и делают возможным дальнейшее раздельное движение.

Классическая теория пространственного удара (стереомеханика) основана на ряде упрощающих предположений, касающихся его продолжительности и величины ударных сил. С одной стороны, продолжительность удара достаточно мала, чтобы пренебречь перемещениями тел, с другой стороны – достаточно велика, чтобы не учитывать волновые процессы. Ударные силы достаточно велики, чтобы пренебречь влиянием «конечных» сил, но все же не столь значительны, чтобы вызвать заметные деформации тел или же разрушение.

Совокупность этих условий позволяет свести задачу об ударе к более простой задачи об импульсном движении абсолютно твердого тела. Единственной величиной, подлежащей определению, является ударный импульс , действующий на первое тело со стороны второго (по третьему закону ко второму телу прилагается импульс ).

Будем считать размеры области контакта пренебрежительно малой по сравнению с размером тел. Поэтому эту область можно устремить к нулю и считать, что столкновение происходит в единственной точке С, лежащей на обеих поверхностях. Уравнения импульсного движения для каждого тела имеют вид

,

,

где и - изменения мгновенных угловых скоростей соответственно первого и второго тела; и - изменения скоростей движения их центров масс; и - радиус-векторы, соединяющие центры масс тел с точкой столкновения С. Вектор нормали направлен от точки С внутрь первого тела, вектор определяет относительную скорость точки контакта. Удар возникает, если угол между этими двумя векторами тупой.

Определим область допустимых значений ударного импульса, исходя из следующих требований:

1. Скорости тел после удара допускают дальнейшее движение без взаимопроникновения:

.

2. Суммарная кинетическая энергия системы не увеличивается, так как при ударе не происходит высвобождения потенциальной энергии:

.

Геометрически эти условия по предложению Рауса изображают в виде кривой . В момент времени величина равна нулю, и изображающая точка находится в начале координат. На промежутке эта точка перемещается по некоторому закону до конечного положения , полностью определяющего удар: на первое тело действует импульс , на второе .

Приращение относительной скорости в точке контакта С

Знак равенства в условии

имеет место, если

,

где В – симметрическая положительно определенная матрица. Последнее линейное относительно уравнение описывает плоскость, названную Раусом-плоскостью наибольшего сжатия. Эта плоскость ортогональна вектору и проходит через точку , соответствующую нулевой относительной скорости точки контакта. Радиус-вектор этой точки вычисляется по формуле