то для энергии получится

т.е. она представится в виде кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии характерен не только для классической механики, а носит общефизический характер. Найдем закон сохранения энергии в квантовой механике.

Как известно состояние частицы задает волновая функция y. Произведем бесконечно малый сдвиг во времени Dt. При этом волновая функция преобразуется с помощью оператора трансляции .

Из однородности времени следует, что оператор трансляции коммутирует с оператором полной энергии .

Как известно в квантовой механике, поскольку оператор смещения коммутирует с оператором полной энергии , трансляция не меняет Н. Отсюда однозначно следует, что собственное значение оператор трансляции Tt есть величина сохраняющаяся. А так как оператор трансляции линейно зависит от оператора энергии (Dt=const), следовательно энергия частицы остается величиной инвариантной относительно трансляции времени.

2.2. Закон сохранения импульса

Найдём теперь аддитивный закон сохранения, вытекающий из однородности, т.е. выберем в качестве в качестве преобразования пространственный сдвиг. Прежде всего (если пользоваться инерциальной системой отсчёта) такое преобразование не затрачивает времени, следовательно первые члена (3), (4) пропадут, т.е. будем считать .

Поэтому уравнение (3) примет в этом случае вид:

Величина

называется импульсом a‑той материальной точки. Поэтому из (4) получаем, что вектор

называемый импульсом системы материальных точек сохраняет во время движения постоянное значение

.

Найдем закон сохранения импульса в квантовой механике.

Произведем вариацию координаты Dх – приращение начала отсчета. Легко видеть, что операция смещения начала отсчета приводит к преобразованию волновой функции y с помощью оператора трансляции .

В силу однородности пространства коммутирует с оператором полной энергии (Н не зависит от трансляции координат, поскольку потенциальная энергия зависит только от относительных расстояний), т.е. собственное значение оператора Тх остается неизменным. А поскольку оператор трансляции линейно зависит от оператора импульса (Dх=const), следовательно х‑вая компонента импульса остается величиной инвариантной относительно трансляции начала координат.

2.3. Закон сохранения момента импульса

Найдем аддитивную величину, сохраняющуюся в силу изотропности пространства. Совершим бесконечно малый поворот, преобразование в этом случае имеет вид

Теорема Нётер тогда утверждает, что

Векторную величину

называют моментам импульса материальной точки. Таким образом, из теоремы Нётер получаем, что из инвариантности относительно пространственных поворотов следует сохранение вектора

называемого моментом системы

Отыщем закон сохранения момента импульса в квантовой механики.

Рассмотрим бесконечно малое вращение частицы в изотропном пространстве вокруг оси OZ на угол . Это вращение приводит к изменению координат частицы

Поведение частицы в этом случае описывается функцией

А так как

есть оператор момента импульса, то оператор трансляции будет иметь вид

В силу изотропности пространства и однородности времени операторы коммутируют, а следовательно, оператор момента импульса коммутирует с оператором полной энергии . Таким образом, z‑вая компонента момента импульса частицы инвариантна относительно трансляции вращения.

2.4. Закон сохранения электрического заряда

Во всех процессах, происходящих в мире элементарных частиц, выполняется закон сохранения электрического заряда.

Принцип симметрии, лежащий в основе этого закона сохранения, оказывается более тонким, нежели обсуждавшаяся выше симметрия физических законов относительно пространственно-временных перемещений, выражающихся в виде законов сохранения энергии, импульса, момента импульса. Закон сохранения электрического заряда является следствием калибровочной инвариантности - это преобразование потенциалов вида:

где j – произвольная функция от координат и времени. Заметим, что калибровочная инвариантность есть один из важнейших принципов теории поля.

Можно показать, что если записать действие S для системы заряд-поле и провести калибровочное преобразование, то совершенно очевидно, что действие остается неизменным.

Инвариантность действия при преобразовании калибровки будет иметь место при условии сохранения заряда. В этом выводе мы использовали постоянство заряда, т.е. e=const, то вариация действия равна нулю.

Заключение

В работе отражены основные аспекты проблемы взаимосвязи симметрии и законов сохранения. Рассмотрен целый ряд примеров симметрии в физике.

Опираясь на результаты теоремы Нетер, в работе получены динамические законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Показано также, что эти законы не зависят от использованной теории (классической или квантовой). Использование законов квантовой механики и той же пространственно-временной симметрии опять таки приводит к тем же законам сохранения.