- неогранич.; при

2) Монотонность.

Д/з: Функция называется возрастающей на промежутке X, если для любого промежутку;

Убывающей, если

Замечание: если неравенства нестрогие, то говорят о неубывании в 1 случае и невозрастании (либо неизм., убыв.) во 2 случае.

Невозрастающие и неубывающие функции – монотонные. При строгом неравенстве строгомонотонные.

Пример:

Докажем, что она убывающая на любом промежутке.

Например:

Пусть

Понятие монотонности только для промежутков.

Промежуток – множество, обладающее свойством:

наряду с любым 2-мя числами и ему принадлежат все числа, заключённые между ними .

Понятие сложной функции. (композиции функции)

Пусть даны отображения и , такие, что пересечения и - непустое множество Æ.

Тогда вводится новое отображение, , которое включает новой функции

и закон соответствия получается по формуле:

- отображ. сложная функция (композиция).

Пример:

Обратная функция:

При взаимооднозн. отображении X на Y с пом. функции эти множествасимм. относительно этого отображения, т.е. наряду с функцией существует обр. ф-я

Д/з: называется обратной взаимооднозн. ф-и , если каждому элементу ставят в соотв. так, что .

Замечание: y взаимнообр. ф-й D(f) и E(f) мен. местами

Замечание 2: если для обр. функций сделать замену переменных , чтобы то гр-ни функций и симм. отн. бессектр. 1 и 3 квадратов.

Пример: обр. ф-я –

Элементы теории пределов.

Теория пределов формализует (перев. на мат. яз.) фразы: и Зн-я неогранич. приалинс-ся к числу A, когда x неогр. приалинс-ся к числу ф; или n Зн-я неогр. приыл. к A тогда, когда и т.д.

Д/з: Р/м

втом числе и для x, сколько угоднок 0, т.е. хотя зн-я этой т. не имеет.

Определение предела в терминах окресностей.

Число А называется пределом при , и обозначается , если для любой e-окресности числа А найдется проколатая окресность, так что ля всех х из этой окресности значения будут принадлежать e-окресности числа А.

Конечный предел ф-ии (А-вещ. число)

Число А-конечный предел ф-ии в т. а, если

Частные случаи (геометрическая иллюстрация)

Конечный предел в конечной т.

а – вещественное число

Общие свойства конечного предела

1. Если - const, то ее предел сущ. и равен этой же const.

, то

2. Если конечный предел сущ., то он единственный

3. Для f(x), имеет конечный предел в т. а, сущ. такая прколотая окрестность этой т., в которой ф-ия ограничена.