б)

Рис.2.Виды сеток и

их локальные уточнения.

прямоугольных сетках.Он является точным, если значения величин в каждой точке сетки могут быть описаны полиномом второго порядка.

3.1.1 Дискретизация уравнения Пуассона

В настоящее время для конструирования разностных схем, аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения, применяют различные методы. Например, с помощью интегро-интерполяционного метода, предложенного А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским естественным образом можно получить следующую схему [1].

В области V={(x,y),0<x<Lx,0<y<Ly} (рис.1.) вводится неравномерная сетка

x0=xi+hi+1, yj+1=yj+rj+1

hi,rj-шаги сетки.

Проинтегрировав уравнение Пуассона [2], представленного в интегральной форме (1.53), по области Vij={(x,y),xi-1/2<=x<=xi+1 , yj-1/2 <=y<=yj+1/2} (рис.3.)

получим разностный аналог уравнения Пуассона в точках, принадлежащих полупроводниковой среде,в виде :

+

+

rj* +hi* =rkhi*rj* (3.11)

Здесь приняты обозначения :

rk=pk-nk+Nk, rj*=(rj-1+rj)/2, hi*=(hi-1+hi),

В узлах сетки,лежащих в диэлектрике, разностный аналог полевого уравнения совподает с (3.11) если положить rk=0.

Если поделить обе части уравнения на -hi*rj* то можно переписать левую часть уравнения при помощи разностного оператора Dhr [1], тогда разностный аналог уравнение Пуассона примет вид :

Рис.3. Ячейка алгебраизации уравнения Пуассона.

Рис.4. Ячейка алгебраизации уравнения непрерывности.

(Dhrj)k=-rk (*)

Схемы такого типа выражают на сетке законы сохранения и называются консервативно разностными схемами.

3.1.2.Дискретизация уравнения непрерывности.

Аппроксимируя интегральную форму электронного уравнения непрерывности (1.51) на элементарной ячейке Vi (рис.4.), отвечающей лежащему в полупроводниковой среде k-му узлу сетки пространственной дискретизации

[mnk+mn(k+1)][niek/nie(k+1)]1/2(jk+1-jk) 2hi[exp(jk+1-jk)-1]

получим:

55

(Jn)i+1/2,j=

nie(k+1) niek

5[nk+1- exp(jk+1-jk)nk]; (3.12)

анологичные выражения получаются для других плотностей тока [2].

После введения разностных операторов Dn, Dp [1] разностная схема для уравнения непрерывности запишется в виде:

(**)

(Dnj)n)k=R(pk,nk),

(Dpj)n)k=R(pk,nk),

3.2.Решение нелинейной алгебраической задачи.

3.2.1Метод установления. После построения разностной схемы получаем систему нелинейных уравнений большой размерности и возникает проблема разработки эффективных методов для её решения. Одним из широко применяемых методов решения систем разностных уравнений, возникающих при дискретизации стационарных нелинейных задач для уравнений в частных производных, является метод установления [4]. Суть его заключается в следующем: задаются некоторые начальные условия, а затем решается нестационарная задача, решение которой при t®¥ стремится к решению исходной стационарной задачи. Поскольку при решении стационарных задач интерес представляет лишь предельное при t®¥ решение нестационарной задачи, то величина шага по времени выбирается только из соображений устойчивости и наибольшей скорости сходимости алгоритма, т.е. величина шага по времени является итерационным параметром, регулирующим сходимость метода. Рассмотрим метод следущий для решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**) [1]:

nkl+1-nkl t

(Dhrj l+1)k= -pkl+nkl-Nk (3.21)

((Dnj l+1)nl+1)k=R(pkl,nkl) + , (3.22)

nkl+1-nkl t

((Dpj l+1)pl+1)k=R(pkl,nkl) + , (3.23)

где l=0,1,2… -номер итерации, t-итерационный параметр;

n0,p0-заданные начальные приближения. Таким образом алгоритм следующий:

1.Считаем правую часть известной с предыдущей итерации и решаем систему линейных уравнений (3.21) с соответствующими краевыми условиями.в результате определяем j l+1 .