Предложение 5. Для имеет место следующая оценка сверху

,

где - постоянная .

Доказательство. Имеем

.

Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой , при этом целые точки, лежащие на осях координат исключаются, так как для них . Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде

, где - целая часть числа .

Оцениваем теперь сумму

,

где .

Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа

,

где

есть так называемая постоянная Эйлера.

Предложение 5 доказано.

Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.

Теорема (Зигель). Для числа всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта справедливо неравенство

,

где - произвольное положительное число, - постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Пусть - неопределенная приведенная форма дискриминанта . Тогда ,

, .

Оценим сверху число приведенных форм с и . Тогда

.

Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим

, где .

Теорема доказана.

§4. О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде.

В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.

Определение 1. Целое число , не делящееся на простое число называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю , т.е. - квадратичный вычет по модулю , если сравнение имеет решение; в противном случае число называется квадратичным невычетом по модулю . В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.

Определение 2. Символом Лежандра числа по простому модулю , которое определяется следующим соотношением

Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.

Свойство 1. , если .

Свойство 2. Если , то (свойство периодичности).

Свойство 3. (свойство мультипликативности)

Свойство 4. , если .

Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.

Пусть - простой делитель дискриминанта , и пусть число всех этих различных модулей равно . Можно показать, что если - один из этих модулей, то для всех чисел , представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта и взаимно простых с , символы Лежандра имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть