или что то же самое

;

;

(8)

откуда с учетом (5), полученное соотношение (8) перепишется в виде

,

что противоречит условию (4).

Значит наше допущение о том, что диагональная форма эквивалентна другой диагональной форме того же дискриминанта неверно.

Теорема 3 доказана.

Полученную теорему 3 можно применить к оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.

Теорема 4. Если для каждого квадратного делителя дискриминанта выполнены условия:

НОД , простого ,

то для числа классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство

.

Доказательство. Пусть - собственно примитивная форма дискриминанта , т.е. НОД и пусть она представляет целое число , т.е. при некоторых целых и . Будем считать, что , где - целое число. Тогда символ Лежандра числа по простому делителю числа равен

.

Далее по условию имеем

.

Полученное означает, что форма принадлежит главному роду (род называется главным, если характеры его форм равны ). Число таких форма равно числу квадратных делителей дискриминанта с условием НОД и все они эквивалентны по теореме 3. Поэтому для числа классов в главном роде справедлива оценка снизу

с условием .

В силу теоремы 2 Гаусса такая же оценка справедлива и для числа классов всех остальных родов.

Теорема 4 доказана.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937, с. 218

2. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959, с. 978

3. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. Изд-во «Мир», М., 1974, с. 187

4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Изд-во «Наука», М., 1972 с. 267

5. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980, с. 144

6. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966, с. 384