и приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно наклонов mi :

, i= 1, 2, ., N-1 (1.2)

и два краевых условия (они обычно связаны с “крайними” значениями m0 и mN). В программе использовались три варианта краевых условий :

1. Если известны , то задаем

(1.3)

2. Производные аппроксимируем формулами численного дифференцирования третьего порядка точности (применение интерполяционного полинома Лагранжа [ 3 ]) и, отбрасывая остаточные члены, полагаем :

(1.4)

3. В некоторых случаях бывают известны значения на концах отрезка [a,b], т. е. величины . Тогда требования приводят к краевым условиям :

(1.5)

Краевые условия (1.3) - (1.5) можно комбинировать, т. е. В левом и правом крайних узлах выбирать их независимо. Система (1.2) при всех рассмотренных краевых условиях имеет единственное решение [ 4 ], для нахождения которого могут быть применены методы прогонки и итераций. Решив систему (1.2) при выбранных краевых условиях, находим наклоны mi, i= 0, 1, ., N, во всех узлах. Затем по формуле (1.1) задаем сплайн на каждом частичном отрезке [xi-1, xi], i= 0, 1, , N-1. Построенный данным способом сплайн S3(x) имеет дефект не больше единицы, так как он обладает на отрезке [a,b] непрерывной второй производной .

Если рассмотреть кубический сплайн с переменными шагами, тогда на отрезке [xj-1, xj] он имеет следующее выражение [ 4 ] :

(1.1.a)

взяв от которого две производные получим :

Отсюда находим

и

Из требований непрерывности второй производной в точках получим систему линейных алгебраических уравнений относительно наклонов mj следующего вида :

(1.2.a)

Краевые условия представлены в следующем виде :

а) Если известны , то задаем

(1.3.а)

б) Производные аппроксимируем формулами численного дифференцирования третьего порядка точности (применение интерполяционного полинома Лагранжа [ 3 ] ) и, отбрасывая остаточные члены, полагаем :

(1.4.a)

где

в) В некоторых случаях бывают известны значения на концах отрезка [a,b], т. е. величины . Тогда требования приводят к краевым условиям :

(1.5.а)

Как видно (1.1) и (1.1.a) похожи, а (1.2) следует из (1.2.a) при hj = hj-1, т. е. случай с переменным шагом более общий, он и был положен в основу программы. Так как используется случай построения сплайна по трем точкам то краевые условия (1.4) и (1.4.a) выглядят следующим образом :

()

()

где

1.2.2. Дискретизация оболочковых конструкций

Процедуру дискретизации оболочковых конструкций рассмотрим на примере построения оболочки в основании которой лежит прямоугольная рама, и высотой в середине конструкции.

Задано : координаты опорных точек и высота в середине конструкции :

Т1= (x1, y1, z1);

Т2= (x2, y2, z2);

Т3= (x3, y3, z3);

Т4= (x4, y4, z4);

Т5= (x5, y5, z5).

Задаемся граничными условиями по контуру основания, которые задают форму оболочки в местах прилегания к основанию и вводим желаемую степень дискретизации.

Построение сетки узлов конечно-элементной модели (КЭМ) с помощью сплайн-интерполяции начинаем с построения кривой К0 по 3 точкам : опорной точки Т5 и 2 точкам на середине ребер основания, параллельных оси 0X. Задаемся числом участков по оси 0X и 0Y. Вычислив координаты границ участков и координаты точек на полученной кривой К0, строим с помощью сплайн-интерполяции семейство кривых К1, К2, ., КN. Аналогично строим систему кривых К11, К12, ., К1N, ортогональных к ранее построенным (рис. 2). В результате получаем сетку с пронумерованными узлами (рис. 3), которую “зашиваем” плоскими треугольными конечными элементами. Затем формируем файлы координат узлов и список конечных элементов (КЭ).

Z