Демонстрация правила 2

В таблице 1.3 последняя колонка (z) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение y. Предполагается, что значения величины x для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Cov(x,z) необходимы значения (x-xсредн.), а также (z-zсредн.)

Из таблицы 1.5 можно видеть, что Cov(x,z) равна 532500, что в точности равно удвоенной Cov(x,y).

Демонстрация правила 3

Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что по недоразумению мы решили вычислить ковариацию между общим доходом (x) и числом взрослых в семье (a). Естественно, что a1=a2=…=a6=2. Таким образом, aсредн .= 2. Отсюда для каждой семьи (a-aсредн.) = 0 и, следовательно, (x-xсредн.)(a-aсредн.) = 0. Поэтому Cov(x,a) = 0.

Теоретическая ковариация.

Если x и y – случайные величины, теоретическая ковариация sxy определяется как математическое ожидание произведения отклонений величин от их средних значений:

pop.cov(x,y) = sxy = E{(x-mx)(y-my)}

Если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. К сожалению такая оценка ,будет иметь отрицательное смещение.

Если x и y независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю, поскольку:

E{(x-mx)(y-my)} = E(x-mx)(y-my) = 0*0

Выборочная дисперсия.

Для выборки из n наблюдений x1,…,xn выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выбоке:

_

Var(x) = 1/nS(x-x)2

Замечание. Определенная таким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии s2, которая определяется как:

1/(n-1) S(x-x)2, является несмещенной оценкой s2. Отсюда следует, что ожидаемое значение величины Var(x) равно [(n-1)/n]s2 и, следовательно, она имеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки n становится большим, то (n-1)/n стремится к единице и, таким образом, математическое ожидание величины Var(x) стремится к s2.

Правила расчета дисперсии.

· Правило 1

Если y = v+w, то Var(y) = Var(v)+Var(w)+2Cov(v,w)

· Правило 2

Если y = az, где a является постоянной, то Var(y) = a2Var(z)

· Правило 3

Если y = a, где a является постоянной, то Var(y) = 0

· Правило 4

Если y = v+a, где a является постоянной, то Var(y) = Var(v)

Следует заметить, что дисперсия переменной x может рассматриваться как ковариация между двумя величинами x:

_ _ _

Var(x) = 1/n*S(xi-x)2 = 1/n*S(xi-x)(xi-x) = Cov(x,x)

Учитывая это равенство, можно воспользоваться правилами расчета выборочной ковариации, чтобы вывести правила расчета дисперсии.

Коэффициент корреляции.

Рассматривая ковариацию нельзя не отметить, что она является не особенно хорошим измерителем взаимосвязи между величинами. Более точной мерой зависимости является тесно связанный с ней коэффициент корреляции. Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы – теоретическую и выборочную.

Для переменных x и y теоретический коэффициент корреляции определяется как:

rx,y = pop.cov(x,y) / pop.var(x)pop.var(y) = sx,y / sx2sy2

Если x и y независимы, то r равно нулю, т.к. равна нулю теоретическая ковариация. Если между переменными существует, то sx,y, а следовательно rx,y будут положительными. Если существует строгая положительная линейная завистмость, то rx,y примет максимальное значение равное 1. Аналогичным образом при отрицательной зависимости rx,y будет отрицательным с минимальным значением –1.

Выборочный коэффициент корреляции r равен:

rx,y = (n/(n-1))Cov(x,y) / (n/(n-1))Var(x)(n/(n-1))Var(y)

Множители n/(n-1) сокращаются, поэтому можно определить выборочную корреляцию как:

rx,y = Cov(x,y) / Var(x)Var(y)