Основные свойства градиента:

Итак, скалярное поле характеризуется вектором, который является градиентом функции U(x, y, z). Такие векторы называются п о т е н- ц и а л ь н ы м и, а скалярная функция U(x, y, z) – потенциалом.

Потенциальное поле характеризуется векторными линиями, которые ортогональны к поверхности уровня в каждой точке пространства. В направлении этих линий происходят максимальные изменения функции U(x, y, z).

- Как определяется скорость изменения скалярного поля по заданному направлению?

- Определить скорость можно по формуле, представив в виде скалярного произведения:

Скорость изменения скалярного поля по заданному направлению равна скалярному произведению градиента этого поля на единичный вектор направления.

- Как определятся поток векторного поля?

- Поток вектора через поверхность S можно записать в следующем виде:

где An – проекция вектора А на нормаль к поверхности S. Поток есть величина скалярная и зависящая от ориентации поверхности S. При изменении направления нормали, знак проекции, а следовательно, и потока изменится на противоположный.

- Как определятся дивергенция вектора?

- Допустим, что векторные линии поля в рассматриваемом пространстве возникают по всюду. Возьмем в поле точку P0 проведем вокруг нее замкнутую поверхность S, ограничивающую объем , вычислим через нее поток вектора и разделим результат на объем. В итоге найдем поток вектора на единицу объема. В пределе при стягивании S в точку частное будет характеризовать интенсивность (или плотность источника) истечения векторных линий из точки P0, т.е. из бесконечно малого объема. Этот предел называется дивергенцией вектора в точке и обозначается

Выразим дивергенцию в точке P0 через проекции вектора в этой же точке. Поместим внутрь элементарного параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям. Поскольку предел не зависит от форм поверхности S , то выбор такого вида объема не ограничивает общности вывода.

Найдем поток вектора через грани параллелепипеда, затем разделим его на и перейдем к пределу.

Поток вектора через две параллельные грани, перпендикулярные оси Z, равен:

Для граней, перпендикулярных осям x и y, аналогично получим:

В этих выражениях значения производных берутся в точках, расположенных внутри параллелепипеда. Взяв суммарный поток, подставив его в формулу предела, получим:

где Аx, Ay, Az – проекции вектора в точке Р0. Производные также берутся по координатам точки Р0.

Дивергенция вектора в точке Р есть величина скалярная и характеризует интенсивность истечения векторных линий из области точки Р0.

Рассмотрим дивергенции суммы векторов и произведения скаляра на вектор. Допустим, что имеем поля векторов А и В и скалярное поле U. Тогда:

- Каков основной смысл формулы Остроградского-Гаусса?

- В 1828 г. известный русский математик Остроградский установил связь между потоком вектора и дивергенцией. Теорема, называемая также теоремой Остроградского-Гаусса, гласит: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции, взятому по объему , ограниченному данной поверхностью.

Формулу Остроградского можно записать в форме:

или

Формула широко применяется для преобразования интеграла, взятого по объему, ограниченному поверхностью, в интеграл, взятый по этой поверхности. С помощью формулы бывает удобно также определять поток вектора, не проводя прямых вычислений.

- Какие поля называют соленоидальными и каковы их свойства?

-Соленоидальным называют векторное поле, не имеющее источников. Необходимым и достаточным условием для этого является

Соленоидальные поля обладают рядом общих свойств.

1. Поскольку в соленоидальном поле нет источников, то векторные линии в таком поле не обрываются и не начинаются. Они могут быть только замкнутыми или уходящими в бесконечность.

2. Поток вектора через любое поперечное сечение векторной трубки есть величина постоянная. Векторной трубкой называют часть пространства, состоящую из векторных линий. Для доказательства этого свойства возьмем в векторной трубке поля два сечения и вычислим поток вектора через замкнутую поверхность

- Как определяется циркуляция вектора и какой физический смысл она имеет?

- Возьмем в поле вектора некоторую кривую , и найдем работу по перемещению материальной точки вдоль этой кривой из т. в т.(рис. 2.10). Ре можно определить в виде скалярного произведения Работа вектора вдоль всей кривой будет равна