Уменьшая длину и переходя к пределу, получим криволинейный интеграл

Скалярному произведению можно придать другой вид:

где - проекция вектора на касательную к кривой .

Криволинейные интегралы записанные выше называют также линейным интегралом вектора вдоль кривой. Если кривая замкнутая, то криволинейный интеграл будет называться циркуляцией. Таким образом, циркуляция имеет смысл работы векторного поля по перемещению точки вдоль замкнутой кривой, т.е.

При вычислении работы обход по контуру совершается против часовой стрелки (в правой системе координат).

- Запишите выражение ротора через проекции вектора.

- Ротор вектора удобно записать через определитель

После раскрытия определителя получаем формулу

Поясним физический и аналитический смысл ротора. Для этого рассмотрим плоское векторное поле - линейной скорости частиц сплошной среды, перпендикулярное оси . В этом случае проекция скорости на ось и производные по этой оси равны нулю, поэтому

т.е. ротор в каждой точке поля направлен перпендикулярно плоскости заданного поля.

- Дайте определение потенциального поля и перечислите его основные свойства.

- Векторное поле называется потенциальным, если вектор , характеризующий поле, является градиентом скалярной функции :

Скалярная функция называется потенциальной функцией или потенциалом вектора .

Если - потенциальная функция, то также будет потенциальной.

Потенциальное поле обладает следующими свойствами:

1. Потенциальное поле можно задать не только проекциями вектора, но и одной скалярной функцией - потенциалом.

2. Работа потенциального вектора вдоль некоторой кривой не зависит от формы этой кривой. Она зависит только от положения начальной и конечной точек и равна разности значений потенциала в этих точках.

- Приведите примеры потенциальных полей.

Примерами потенциальных полей являются поле силы притяжения, электростатическое поле, электрическое поле постоянного тока и пр.

- Запишите формулу Стокса.

- Физический смысл формулы Стокса состоит в том, что циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора поля через любую поверхность, ограниченную этим контуром:

В координатной форме формула Стокса имеет вид

- В чем состоит существенное различие операторов Гамильтона и Лапласа?

- Основные характеристики полей -градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля - определяются при помощи дифференцирования скалярных функций или проекций векторов.

Для более компактной записи этих характеристик английский математик Гамильтон (1805-1865) ввел символический, т.е. не имеющий физического смысла, вектор (набла), называемый также оператором Гамильтона

1.3. Векторные операции в ортогональных криволинейных координатах. Общая характеристика ортогональных криволинейных координат. Выражение элементов длины, площади и объема в криволинейных координатах через прямоугольные. Градиент, дивергенция, ротор в криволинейных координатах. Основные характеристики полей в цилиндрических и сферических координатах.

- Напишите выражение элементов длины, площади и объема в криволинейных координатах через координаты Ламе.

- Выразим элементы длин координатных линий, площади и объема в криволинейных координатах, используя прямоугольные.

Возьмем координатную линию, расположенную в прямоугольной системе координат. Радиус-вектор точки, расположенной на линии, имеет обычный вид

где ; ; . Обозначим элемент дуги координатной линии через . Поскольку , нахождение сведем к нахождению .

Известно, что

где

Отсюда находим

Аналогично

Коэффициенты , , называют коэффициентами Ламе или масштабными множителями криволинейной системы координат.

Зная значения элементов длин координатных линий, запишем выражения для элементов площадей