Если mΔ=0, а величина Δ нормирована значением δΔ, т.е. введено х=Δ/δΔ, то выражение (4.1) принимает вид: (4.2)

Функция нормального распределения определяется как интеграл от (4.2):

. (4.3)

9. Обнаружение грубых погрешностей.

При статистической обработке результатов измерений необходимо убедиться в том, что они не содержат грубых ошибок. Эта задача решается статистическими методами. Для нормального распределения рассчитаны границы максимально и минимально допустимых погрешностей при п измерениях. Расчеты сведены в таблицы, которые определяют нормированный критерий разброса результата от среднего значения:

(4.14)

Критерий tГ рассчитан в зависимости от п и от уровня значимости – q%. Уровень значимости q выбирают достаточно малым, чтобы была малой вероятность ошибки. Поэтому таблицы называют таблицами q – процентных точек распределения.

Чтобы определить наличие грубой ошибки в К-ом результате AnK, необходимо сначала вычислить tГК

, (4.15)

где Аср и определяют с учетом всех п результатов. Затем, выбрав уровень значимости q, по таблицам находят tГ. Если tГк> tг, то АnК можно отбросить.

10. Погрешности косвенных измерений.

При косвенных измерениях искомая величина А функционально связана с другими величинами - x, y,…t, которые и подвергаются прямым измерениям. Поэтому и абсолютная погрешность величины ΔА является некоторой функцией погрешностей прямых измерений ∆A=F(∆x, ∆y, ∆t)

Например, для случая одной переменной А=f(x). В результате измерения получим

A+ ΔА=f(x+Δx). (4.23) Разложим правую часть (4.23) в ряд Тейлора и сохраним члены разложения, содержащие Δx в первой степени. Тогда . (4.24) Это выражение показывает что А=f(x).ΔA=±df(x)·∆x/dx

В общем случае абсолютная погрешность находится геометрическим суммированием:

,

где слагаемые – квадраты частных погрешностей прямых измерений.

Прямые измерения величин x, y,…t могут выполняться путем многократных наблюдений, с определением точечных оценок xcp,ycp,…tcp, а также . Тогда оценка среднеквадратического значения абсолютной погрешности косвенных измерений определяется формулой

Появились остаточные значения.

11. Доверительные интервалы.

Рассмотренные оценки результатов измерений Acp;σ*Acp;σΔ* выражаются одним числом и называются точечными. Так как такую оценку принимают за действительное значение измеряемой величины, то встает вопрос об её точности и надежности. Судят об этом по вероятности α того, что абсолютная величина отклонения Δсл=А0-Аср будет оставаться меньше некоторой назначенной величины ε: Р(|Δсл|)≤ε=α (4.16)

или Р(А0-Аср ||)≤ε=α (4.17) В (4.17) величина ε характеризует точность, а α надежность оценки. Поэтому вероятность α называют доверительной вероятностью.

Равенство (4.17) можно переписать в виде P(Acp-ε≤A0≤Acp+ε)=α (4.18) Выражение (4.18) показывает, что интервал Δα=2ε с вероятностью α накрывает величину A0. Поэтому его называют доверительным интервалом. Подставим в выражение (4.16) нормированные величины: X=Δсл/δΔ и β=ε/δАср

Тогда можно записать известное из теории вероятностей равенство Р(-β≤X≤β)=F(β)-F(-β)=α (4.19) Значит, если известна функция F(x), то конкретное значение α определяет значение β и наоборот. Кроме того, из сопоставления (4.19) и (4.6) получаем равенство α=Ф(β). (4.20) С учетом изложенного определение интервальной оценки можно выполнить в следующем порядке.

1. По результатам измерений вычисляют.Acp;σ*Acp;σv* 2. Задают доверительную вероятность α , обычно α>0.9. 3. По таблице интеграла вероятности Ф(х) находят при Ф(х) =α значение X. Это значение принимают равным β.

Так как β=ε/ σ*Acp, то ε=β· σ*Acp a Δα=2ε. При малом числе измерений 2 < п < 20 доверительный интервал должен быть расширен. С этой целью вместо коэффициента β в (4.21) используют коэффициент Стьюдента tcm. Его значения рассчитаны для различных п и α. Результаты расчетов табулированы.

Обратная задача – определение α по Δα Ф(β)=α=2F(β)-1=2F([ε/ σ*Acp]-1) где ε/ σ*Acp=β. При п < 20 α=2F(tcm)-1=2(ε/ σAcp)-1, где ε/ σAcp= tcm В ряде случаев закон распределения погрешности неизвестен, но известны числовые характеристики Acp;σ*Acp;σv* . В этих случаях для грубой оценки снизу доверительной вероятности α при заданном доверительном интервале Δα=2ε можно воспользоваться неравенством Чебышева α=P(|A0-Acp|≤ε)≥1-σ*2Acp/ε2. (4.22) Используя неравенство Чебышева легко определить доверительный интервал, если задана доверительная вероятность α≥1- σ*2Acp/ε2 ; → σ*2Acp/ε2≥1- α ; (σ*2Acp)/1- α) ≥ ε2 откуда ∆α=2ε ≤ 2σ*2Acp/(√1- α) .

12. Общие требования к методам обработки.

Суть требований к статистическим методам обработки сводится к следующему: А) Метод обработки должен определяться видом измерений (прямые, косвенные, совместные и совокупные); Б) Если требуемый массив данных сразу получить нельзя, необходимо собрать его в разные интервалы времени. В этом случае массив будет состоять из нескольких групп данных, полученных в разных условиях, но требующих совместной обработки. В) В качестве оценки результата рекомендуется использовать его среднее арифметическое – Аср, а в качестве оценки погрешности – среднее квадратическое отклонение. Эти оценки наиболее отвечают требованиям по быстроте и трудоемкости обработки. Г) Точность получаемых экспериментальных данных должна соответствовать требуемой точности результата измерений. При обработке промежуточных результатов измерений требуется удерживать на одну – две значащих цифры больше, чем требуется в окончательном результате. Д) До начала обработки данные эксперимента тщательно анализируются.