1. Расчёт амплитуды и частоты периодических режимов графоаналитическим методом гармонического баланса.

Преобразуем исходную структурную схему заданной нелинейной системы к расчётной, состоящей из последовательно соединённых нелинейного элемента НЭ и преобразованной в единый блок линейной части ЛЧ. При этом сигнал задания xo полагается равный нулю, так как расчёт осуществляется для симметричных автоколебаний.

Рис. 3. Расчетная схема.

Условием возникновения периодических режимов в представленной на рис. 3 нелинейной системе является основное уравнение гармонической линеаризации:

1+WЛЧ(jw)WНЭ(A)=0, (1)

где WЛЧ(jw) - частотная передаточная функция ЛЧ;

(2)

WНЭ(A) – комплексный коэффициент передачи гармонически линеаризованного НЭ, WНЭ(A)=q(A)+jq’(A).

,

Поделим обе части уравнения (1) на WНЭ(A):

, (1¢)

Подставим выражения WЛЧ(jw) и WНЭ(A) в формулу (1¢):

.

Помножив на знаменатель, получим:

w2(TCTPw2–1) – jw3(TC+TP) + (q(A)+jq’(A))(kP(kC – kOCTCw2) + jwkOCkP) = 0.

Графическое решение уравнения (1) соответствует точкам пересечения кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) = -1/ WНЭ(A), по которым из кривой WЛЧ(jw) можно определить частоты wi возможных периодических режимов, а их амплитуды Ai определяют из кривой ZНЭ(A).

Анализ устойчивости этих решений в точках пересечения кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществляется по расположению этих кривых относительно друг друга. Рассматривая ZНЭ(A) как параметр D-разбиения из уравнения (1), можно установить, что границей D-разбиения при этом является кривая WЛЧ(jw). Нанеся на эту границу штриховку по известному правилу (слева по ходу при возрастании w), выделяя тем самым область устойчивости (с заштрихованной стороны характеристики ЛЧ системы).

Расчёт и построение кривых WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) осуществляем с помощью ЭВМ в области пересечения этих кривых в алгебраической форме:

WЛЧ(jw)==U(w)+jV(w),

где U(w) и V(w) - это соответственно вещественная и мнимая части частотной передаточной функции ЛЧ системы.

U(w)=; V(w)=;

Из формулы (2) определим

U1=kР(kС- kОСTCw2), V1=kРkОСw, (3)

U2=w2(TCTРw2- 1), V2= – w3(TC+TР). (3’)

Тогда:

;

Построим с помощью программного математического пакета Mathcad 2001 годографы функций WЛЧ (jw) и ZНЭ (А) при значениях варьируемого параметра КOC=0 ; 0.015 ; 0.03 ; 0.045 ; 0.06 ; 0.75 ; 0.111; 0.123.

Данные для расчета:

Полученные графики приведены в приложении 1.

Из графиков находим точки пересечения годографов, для каждого из значений варьирующего параметра определяем частоту и амплитуду автоколебаний в точках, где периодический режим устойчив и сделаем выводы.

· При KOC = 0: автоколебания в точке М1 A = 2.218; w = 0,555;

· При KОС= 0.015: автоколебания в точке М2 А = 2.153; w = 0,56;

· При KОС = 0.3: автоколебания в точке M3 А = 2.09; w = 0.565;

· При КОС = 0.45: автоколебания в точке M4 А = 2.029; w =0.57;

· При КОС = 0.06: автоколебания в точке М5 А = 1.968; w = 0.575;

· При КОС = 0.075: автоколебания в точке М6. А = 1.923; w = 0.579;

· При КОС = 0.111: автоколебания в точке М7. А = 1.796; w = 0.588;

· При КОС = 0.123 годографы WЛЧ(jw) и ZНЭ(A) не пересекутся, процесс автоколебаний не наблюдаем

2. Уточнённый численный расчёт параметров периодических режимов

2.1. Применение численных методов решения системы двух алгебраических уравнений

Характеристика НЭ, входящего в заданную нелинейную систему, неоднозначна (q'(A) ¹ 0), поэтому основное уравнение (1) метода гармонической линеаризации распадается на два уравнения:

	{

X(A,w) = U2(w) + U1(w)q(A) – V1(w)q’(A) = 0, (4)

Y(A,w) = V2(w) + U1(w)q’(A) + V1(w)q(A) = 0 ;

Решим данную систему уравнений с помощью программного математического пакета MathCAD 2001. Результаты расчёта поместим в таблицу.

Ниже приводится листинг исходных данных для ввода в ЭВМ, а так же расчёт параметров А и w периодических режимов в САУ при Кос=0.

(5)

Используя тот же программный математический пакет рассчитаем значения А и w автоколебаний при других значениях варьируемого параметра. Полученные результаты сведем в таблицу 1.

Koc	A	w
0	2,2196	0,5548
0,015	2.1529	0.56001
0,03	2.0891	0.5651
0,045	2.0283	0.5701
0,06	1.9704	0.5749
0,075	1.9158	0.5795
0,111	1.798	0.588