Рассмотренные ниже задачи связаны с оптимальным регулированием запасов. Эти задачи можно сформулировать следующим образом:

1. Моменты времени, в которые принимаются заказы на пополнение запасов, фиксированы. Остается определить объем и время заказов.

2. Необходимо определить и объем и время заказов.

Задача исследования состоит в отыскании оптимального решения этих задач. Под оптимальным здесь понимается решение, минимизирующее сумму всех расходов, связанных с созданием запасов. Эти расходы бывают трех типов:

1. Расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при закупке или производстве. Это величина, не зависящая от размера партии, и, следовательно, переменная для единицы продукции.

2. Стоимость хранения единицы продукции на складе. Сюда включается затраты, связанные с организацией хранения, устареванием и порчей, расходы на страхование и налог.

3. Расходы (штрафы), возникает при истощении запасов, когда происходит задержка в обслуживании или спрос вообще невозможно удовлетворить.

Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться как функции времени (например, в зависимости от сезона может быть различным штраф за зависимость хранения единицы товара на складе).

В задачах управления запасами учитывается также характеристики спроса и возможности пополнения запасов.

Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным или зависящем от времени. Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной (например, количество автомобилей), так и непрерывной.

Спрос на запасенные товары может возникать в определенные моменты времени (спрос на мороженое на стадионе) или существовать постоянно (спрос на мороженное в большом аэропорту).

Заказы на пополнение запасов в ряде случаев могут выполняться немедленно (например, при заказе молока в небольшом магазине). В других случаях выполнение заказа требует значительного времени. Заказы можно делать в любые или только в определенные моменты времени.

Объем поступающий на склад продукции может измеряться дискретной или непрерывной и может быть как постоянным, так и переменным. Само поступление может быть дискретным и непрерывным и происходить равномерно или неравномерно.

Примем следующие обозначения:

q - объем заказа (при пополнении запасов);

q0 - оптимальный размер заказа;

t - интервал времени;

ts - интервал времени между двумя заказами;

tso - оптимальный интервал времени между заказами;

T - период времени, для которого ищется оптимальная стратегия;

R - полный спрос за время Т;

C1 - стоимость хранения единицы продукции в единицу времени;

C2 - величина штрафа за нехватку одной единицы продукции (в определенный момент времени).

Cs - стоимость заказа ( при покупке или производстве),

Cs - ожидаемые суммарные накладные расходы;

Qo - минимум ожидаемых суммарных накладных расходов;

So - оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.

Модель I.

Пусть некий предприниматель должен поставлять своим клиентов R изделий равномерно в течение интервала времени Т. таким образом, спрос фиксирован и известен. Нехватка товара не допускается, т.е. штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик (C2 =µ). Переменные затраты производства складываются из следующих элементов: C1 - стоимость хранения одного изделия (в единицу времени), C2 - стоимость запуска в производство одной партии изделий.

Предприниматель должен решать, как часто ему следует организовывать выпуск партии и каким должен быть размер каждой партии.

Уравнение цен и его аналитическое решение. Только чтоописанная ситуация представлена графически на рис.5. Пусть q -размер партии, ts - интервал времени между запусками в производство партии, а R - полный спрос за всё времени планирования T.

Тогда R/q – число партий за время Т и

Если интервал ts начинается, когда на кладе имеется q изделий и заканчивается при.

отсутствии заказов, тогда q/2 – средний запас в течение ts (равенство q/2= qср следует рассматривать как приближенное. Точность его тем выше, чем больше R) q/2* C1 ts затраты на хранения в интервале ts.

Общая стоимость создания запасов в интервале ts равна сумме стоимости запуска в производство

Для вычисления полной стоимости создания запасов за время Т следует эту величину умножить на общее число партий за это время:

Подставляя сюда выражение для ts, получаем

или

Члены в правой части уравнений (44) представляют стоимость хранения и полную стоимость заказа в производстве всех партий. С увеличением размера партий первый член возрастает, а второй убывает. Решение задачи управления запасами и состоит в определении такого размера партии qo, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей (рис. 6)

Найденное оптимальное значение qo размер партии

Для оптимальных tsо и Qo имеем

Пример I: Пусть предприниматель должен поставлять своему заказчику 24000 единиц продукции в год. Так как получаемая продукция используется непосредственно на сборочной линии и заказчик не имеет для нее специальных складов, поставщик должен единично отгружать дневную норму. В случаи нарушения поставок поставщик рискует потерять заказ. Поэтому нехватка продукции недопустима, т.е. штраф при нехватке можно бесконечным. Хранение единицы продукции в месяц стоит 0,1 долл. Стоимость запуска в производство одной партии продукции составляет 350 долл.

Требуется определить оптимальный размер партии q0, оптимальный период и tsо вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Qо. В данном случае Т = 12 месяцам, R = 24 000 единиц, Сs = 0,1 долл./партия Сs = 350 дол/партия. Подстановка этих значений в уравнения (9), (10) и (11) дает нам.