Далее Vi * qi – объем складских помещений, которые занимают i-ый вид товара, åVi qi - объем складских помещений, занимаемых всеми видами товара и должно выполняться очевидные соотношения,

qi £ Ri, qi ³ 0 (30).

Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа:

Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и (30). Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) – (30) имеет вид:

Функция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в (31)

или

Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные функции (31) по всем qi и прировняем их к нулю:

Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение

где в правой части все значения параметров известны за исключением множителя l. Для определения значения подставим выражения qi в условие (32). Получаем:

В соотношении (36) все величины, кроме l, заранее известны, т.е. оно является иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно разрешить относительно множителя l. Найдя значения l = l0, можно определить оптимальные величины поставок каждого из товаров по формулам:

Теперь можно рассматривать конкретный пример.

Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех видов (n = 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед. Весь объем складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения одной единицы первого вида товара 6 руб., второго – 8 руб., третьего – 10 руб. Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго – 1600 руб., третьего – 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара занимает 3 куб. м., второго – 4 куб. м., третьего – 5 куб. м. Найти оптимальные размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем:

R1 = 24000, R2 = 20000, R3 = 16000;

C11 = 6, C12 = 8, C13 = 10;

Cs1 = 1200, Cs2 = 1600, Cs3 = 2000;

V1 = 3, V2 = 4, V3 = 5;

V = 18000;

Составляем уравнение вида (36) для определения значения множителя l;

или

откуда lо = - 2,41.

Найдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37):

Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных поставок. Должно выполняться:

V1 * q1о + V2 * q2о + V3 * q3о £ V = 18000.

Имеем:

3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000.

Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С течением времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же не столь идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена.

Здесь можем заметить одну небольшую “уловку” в этом примере исходные данные в примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36) имеет во всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же упрощает решение уравнения. Эта “уловка” использована для облегчения рассмотрения примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не является возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее, возникает вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на практике исходные данные будут таковы, что нашей “уловкой” воспользоваться будет невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной математике разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и потому значения множителя l можно определить из уравнения (36) приближенно с любой степенью точности. К тому же несмотря на нашу “уловку” облегчающую нахождения значения l, тем не менее мы определили его приближение. С учетом выше сказанного, можем прийти к выводу, что использованная “уловка” не сужается общностью рассмотрения модели.

8. Рацион Робинзона

Обратимся теперь к задаче о потреблении примерно в таком виде, в каком ее ставил Госсен.

Человек может потреблять блага n видов в количествах хi, i = 1, …, n. Общая полезность потребления i-того блага описывается функцией TUi(xi). Предельная полезность MUi(хi) = dTUi(хi)/dxi убывает с ростом хi - в этом состоит закон Госсена. Полезность потребления всех: благ суммируется по отдельным благам, так что

Будем считать, опять-таки следуя Госсену, что потребительские возможности человека ограничены лишь временем, которое он может затачивать на добывание и потребление благ, как это имело место у Робинзона Крузо. Если на единицу i-того блага ему приходится тратить ti единиц времени, то ресурсное ограничение выражается равенством

где Т — фонд времени, выделяемый на потребление благ.