В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии – основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности Гильберта предлагается группа из трёх аксиом движения.

Виды и некоторые важные свойства движений подробно рассматриваются в данном реферате, коротко же их можно выразить следующим образом: движения образуют группу, которая задаёт и определяет евклидову геометрию.

2. Определение и свойства движений.

При смещении каждой точки данной фигуры каким-либо образом получается новая фигура. Говорят, что эта фигура получена преобразованиемиз данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точкиX’и Y’другой фигуры так, что XY = X’Y’.

Определение. Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние

между точками, называется движением этой фигуры.

! Замечание: понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное (образ) положения фигуры. Этим геометрический подход отличается от физического.

При движении разным точкам соответствуют разные образы, причём каждой точке Х одной фигуры ставится в соответствие единственнаяточка Х’другой фигуры. Такое преобразование фигур называют взаимно однозначным или биективным.

Применительно к движениям вместо термина «равенство» фигур (прямых, отрезков, плоскостей и т.д.) употребляется термин «конгруэнтность» и используется символ @. Для обозначения принадлежности используется символ є.С учётом сказанного можно дать более корректное определение движению:

Движение – это биективное преобразование φ плоскости π, при котором для любых

различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY @ φ(X )φ(Y).

Результат последовательного выполнения двух движений называется композицией. Если сначала выполняется движение φ, а следом за ним движение ψ, то композиция этих движений обозначается через ψ ◦ φ.

Самым простым примером движения является тождественное отображение (принято обозначать - ε), при котором каждой точке Х, принадлежащей плоскости, сопоставляется сама эта точка, т.е. ε(X) = X.

Рассмотрим несколько важных свойств движений.

Cвойство 1.

Лемма 2.1. Композиция φ ◦ ψ двух движений ψ, φ является движением.

Доказательство.

Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F’, а фигура F’ переводится движением φ в фигуру F’’. Пусть при первом движении точка X фигурыF переходит в точкуX’ фигурыF’ , а при втором движении точка X’ фигурыF’ переходит в точкуX’’ фигурыF’’. Тогда преобразование фигуры F в фигуру F’’, при котором произвольная точка X фигурыF переходит в точкуX’’ фигурыF’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Заметим, что запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в соответствие исходному:

X’’=ψ(X’) =ψ(φ (X)) =ψ ◦ φ (X)

Cвойство 2.

Лемма 2.2. Если φ – движение, то преобразование φ-1 также является движением.

Доказательство.

Пусть преобразование фигурыF в фигуруF’ переводит различные точки фигурыF в различные точки фигурыF’. Пусть произвольная точка X фигурыF при этом преобразовании переходит в точкуX’ фигурыF’.

Преобразование фигуры F’ в фигуру F, при котором точка X’ переходит в точкуX, называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ-1.

Рассуждая аналогично доказательству свойства 1, можно убедиться, что преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование φ-1 удовлетворяет равенствам:

f ◦ f-1 = f-1 ◦ f = ε, где ε – тождественное отображение.

Свойство 3 (ассоциативность композиций).

Лемма 2.3. Пусть φ1, φ2, φ3 – произвольные движения. Тогда φ1◦(φ2◦ φ3) = (φ1◦φ2)◦φ3.

Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет определить степень φ с натуральным показателем n.

Положим φ1 = φ и φn+1 = φn ◦ φ, если n ≥ 1. Таким образом, движение φn получается путём n-кратного последовательного применения движенияφ.

Cвойство 4 (сохранение прямолинейности).

Теорема 2.1. Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки,

лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного

расположения.

Это значит, что если точки A,B,C, лежащие на одной прямой (такие точки называют коллинеарными), переходят в точкиA1,B1,C1, то эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A иC, то точкаB1 лежит между точками A1 иC1.

Доказательство.

Пусть точкаB прямойAC лежит между точками A иC. Докажем, что точкиA1,B1,C1 лежат на одной прямой.

Если точкиA1,B1,C1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольникаA1B1C1. ПоэтомуA1C1 <A1B1 +B1C1.

По определению движения следует, что AC <AB +BC.

Однако по свойству измерения отрезков AC =AB +BC.

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B1 лежит между точками A1 и C1.

Допустим, что точка A1 лежит между точками B1, и C1. Тогда A1B1 + A1C1 = B1C1, и, следовательно, AB + AC = BC. Но это противоречит равенству AB + BC = AC.