Таким образом, точка A1 нележит между точками B1, и C1.

Аналогично доказывается, что точка C1 не можетлежать между точками A1 и B1.

Т.к. из трёх точек A1, B1, C1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B1. Теорема доказана полностью.

Следствие. При движении прямая отображается на прямую, луч – на луч,

отрезок – на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник.

Если через Х обозначить множество точек плоскости, а через φ(Х) - образ множества Х при движении φ, т.е. множество всех точек вида φ(х), где х є Х, то можно дать более корректную формулировку данного свойства:

Пусть φ – движение, А, В, С – три различные коллинеарные точки.

Тогда точки φ(А), φ(В), φ(С) также коллинеарны.

Если l – прямая, то φ(l) также прямая.

Если множество Х является лучом (отрезком, полуплоскостью), то

множество φ(Х) также является лучом (отрезком, полуплоскостью).

Свойство 5.

Теорема 2. 2.При движении сохраняются углы между лучами.

Доказательство.

Пусть AB и AC – два луча, исходящие, из точки A, не лежащие на одной прямой. При движении эти лучи переходят в некоторые полупрямые (лучи) A1B1 и A1C1.

Т.к. движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны).Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B1 A1C1, что и требовалось доказать.

Можно дать более корректную формулировку данного свойства:

Образом произвольного угла при движении является угол, конгруэнтный данному.

Свойство 6.

Предложение 2.1.Всякое движение сохраняет сонаправленность лучей

и одинаковую ориентированность флагов.

Прежде, чем приступить к доказательству, напомним, что лучи lА и lВ называются сонаправленными (одинаково ориентированными, обозначение: lА ↑↑ lВ), если один из них содержится в другом, или если они совмещаются параллельным переносом.Теперь необходимо определить понятие флага.

Определение. Флаг F = (πl,lo)– это объединение полуплоскости πl и луча lo.

Точка О – начало флага, луч lo с началом в точке О – древко флага, πl – полуплоскость с границей l (рис.5).

Рис.5

Доказательство.

Пусть φ – произвольное движение, lА ↑↑ lВ –сонаправленные лучи с началами в точках А и В соответственно. Введём обозначения: lА1 = φ(lА), А1 = φ(А), lВ1 = φ(lВ), В1 = φ(А).

Если лучи lА и lВ лежат на одной прямой, то в силу сонаправленности один из них содержится в другом. Считая, что lА Í lВ , получаем φ(lА) Í φ(lВ), т.е. lА1 ↑↑ lВ1 (символом Í обозначается включение или равенство подмножества элементов множеству элементов).

Если же lА , lВ лежат на разных прямых, то пусть n = (AB).Тогда существует такая полуплоскость πn, что lА, lВ Ì πn. Отсюда φ(lА),φ(lВ)Ì φ(πn). Поскольку φ(πn) – полуплоскость, причем ее граница содержит точки А1 и В1 , мы опять получаем, что lА , lВ сонаправлены.

Применим теперь движение φ к одинаково ориентированным флагам F = (πl,lА), G = (πm,mB).

Рассмотрим сначала случай , когда точки A и B совпадают. Если прямые l и m различны, то одинаковая ориентированность флагов означает, что либо (1) lАÌ πm,, mАÌ π’l, либо (2) lАÌ π’m, mАÌ πl. Без ограничения общности можно считать, что выполняется условие (1). Тогда φ(lА) Ì φ(πm), φ(mА) Ìφ(π’l). Отсюда вытекает одинаковая ориентированность флагов φ(F) и φ(G).Если же прямые l, m совпадают, то либо F = G, либо F = G’. Отсюда следует, что флаги φ(F) и φ(G) одинаково ориентированные.

Пусть теперь точки A и B различны. Обозначим через n прямую (AB). Понятно, что найдутся сонаправленные лучи nA и nB и полуплоскость πn такие, что флаг F1 = (πn, nA) сонаправлен с F, а флаг G1= (πn, nB,) сонаправлен с G. Значит φ(F) и φ(G) одинаково ориентированные.Теорема доказана.

3. Конгруэнтность фигур.

Определение. Фигуры X и Y называются конгруэнтными (X @ Y), если существует

такое движение φ, что Y = φ(X).

Например, конгруэнтными являются любые лучи, любые прямые, любые полуплоскости, любые окружности одинакового радиуса.

Пусть X, Y, Z – произвольные фигуры. Тогда выполнены соотношения:

1) X @ X;

2) если X @ Y, то Y @ X;

3) если X @ Y и Y @ Z , то X @ Z.

Эти соотношения и определяют свойства конгруэнтных фигур:

1) рефлексивность - каждая фигура конгруэнтна самой себе, поскольку тождественное

преобразование ε, оставляющее все точки на месте, переводит фигуру саму в себя;

2) симметричность - если фигура M конгруэнтна фигуре N, то и фигура N конгруэнтна

фигуре M. В самом деле, если M переводится в N движением φ, то обратное движение φ-1 переводит N в M.

3) транзитивность - если фигура M конгруэнтна фигуре N, а фигура N конгруэнтна