Рассмотрим симметрию, осью которой является этот серединный перпендикуляр. При этой симметрии точка О останется неподвижной, а точка М перейдёт в точку М1.

Рис.11

Теперь представим, что движение φ выполнялось в два этапа: сначала было выполнено какое-то неизвестное движение, а затем указанная осевая симметрия. Нетрудно видеть, что неизвестное движение представляет собой композицию исходного движения φ и указанной осевой симметрии. Это неизвестное движение должно оставлять точки О и М неподвижными. Тогда в результате осевой симметрии они перейдут в О и М1.

Таким образом, оно может быть либо тождественным отображением, либо осевой симметрией с осью ОМ. Но тождественным отображением оно быть не может, иначе исходное движение было бы осевой симметрией и, соответственно, оставляло бы неподвижными все точки оси, что противоречит условию. Следовательно, оно – осевая симметрия с осью ОМ.

Но тогда исходное движение состоит из композиции двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в точке О, а значит, является поворотом вокруг точки О.

Вывод: если движение φ оставляет неподвижным только одну точку,

то это движение – поворот вокруг неподвижной точки ( φ = ραО ).

Исследование 6.4.

Пусть при некотором движении φ не осталось ни одной неподвижной точки. Попытаемся определить вид движения φ.

В результате движения φ произвольная точка М переходит в точку М1 .

Теперь представим, что движение φ выполнялось в два этапа: сначала было выполнено какое-то неизвестное движение, а затем осевая симметрия, осью которой является серединный перпендикуляр к отрезку ММ1 (рис.12). Поскольку при этой симметрии точка М переходит в М1, то неизвестное движение должно оставлять точку М неподвижной.

Таким образом, оно может быть либо тождественным отображением, либо осевой симметрией, либо поворотом вокруг точки М. Но тождественным отображением оно быть не может, иначе исходное движение было бы осевой симметрией, что противоречит условию.

Рис.12

Осевой симметрией оно может быть только в том случае, когда её ось параллельна серединному перпендикуляру к отрезку ММ1 (иначе всё движение представляло бы собой композицию двух осевых симметрий с пересекающимися осями, т.е. поворот – а это вновь противоречит условию). В этом случае всё движение представляет собой параллельный перенос.

Остаётся проверить, было ли неизвестное движение поворотом вокруг точки М, т.е. результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с осями, пересекающимися в точке М.

Поскольку серединный перпендикуляр к отрезку ММ1 не проходит через точку М, то исходное движение φ представляет собой в этом случае композицию трёх осевых симметрий, оси которых не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу (две из них пересекаются в точке М). Такого движения мы до сих пор не рассматривали. Выясним, действительно ли оно не имеет ни одной неподвижной точки.

Рис.13

Предположим, что неподвижной остаётся некоторая точка А. Это означает, что в результате первой симметрии она перешла в точку А1 (возможно точку А1, совпадающую с А), в результате второй - в точку А2, а в результате третьей - вновь в точку А (рис.13). Если все три точки различны, то оси первой, второй и третьей симметрий - это серединные перпендикуляры к отрезкам АА1, А1А2 и А2 А. Поэтому если АА1А2 - треугольник, то оси пересекаются в одной точке, а если точки А, А1 и А2 лежат на одной прямой, то оси параллельны друг другу. И то, и другое противоречит условию. Противоречит условию и случай, когда какие-то из этих точек совпадают.

Вывод: если движение не оставляет ни одной неподвижной точки, то это движение

либо параллельный перенос, либо последовательное выполнение трёх осевых

симметрий, оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной

точке.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос: помимо параллельного переноса, поворота и осевой симметрии есть ещё одно движение, представляющее собой последовательное выполнение трёх осевых симметрий, оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке. Наши исследования показали, что других движений нет. Итак,

любое движение представляет собой либо осевую симметрию, либо поворот,

либо параллельный перенос, либо последовательное выполнение трёх осевых

симметрий, оси которых не параллельны друг другу и не проходят через одну точку.

Учитывая результаты проведённых исследований и особые свойства осевой симметрии (см. п.4.3.2), можно сформулировать окончательный вывод:

любое движение представляет собой либо осевую симметрию,

либо последовательное выполнение двух или трёх осевых симметрий.

7. Теорема подвижности. Два рода движений.

Теорема. Пусть F1 = (πl,lА) и F2 = (πm,mВ) – произвольные флаги.

Существует единственное движение φ, переводящее флаг F1 во флаг F2.

Доказательство.

Рассмотрим четыре случая.

1. А = В, lА = mВ,πl = πm.

В этом случае очевидно, что φ является тождественным отображением (φ = ε).

2. А = В, lА = mВ,πl ≠πm.

Т.к. полуплоскости πl,πm имеют общую границу l = m и различны, то πm =πl’,. Следовательно, в этом случае движение φ является осевой симметрией с осью l (φ = σl).

3. А = В, lА ≠ mВ .

Определим прямую p, которая будет являться осью симметрии так, что σp(lА) = mВ. Образ полуплоскости πl, полученный при симметрии σp,обозначим через α. Ясно, что граница полуплоскости α – прямая m.