Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы.

Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х1 и х2 этого интервала из условия х1<х2 следует, что f(x1)<f(x2). Если же из условия х1<х2 следует, что f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Определение точек экстремума функции. Пусть х0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x0- δ, x0+ δ [ точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x0) (неравенство f(x)≥f(x0)), точка х0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции.

Теорема Ферма.

Если х0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x0)=0.

Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х0 функция имеет экстремум.

Определение критических точек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f ‘(x)>0 на интервале [a, x0] и f ‘(x)<0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой максимума функции f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f ‘(x)<0 на интервале [a, x0] и f ‘(x)>0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции.

Пример 11. Исследовать функцию y=x3+6x2+9x и построить график.

y=x3+6x+9x

1) D(y)=R

2) Определим вид функции:

y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+6x2-9x функция общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

Ox: y=0,

x3+6x2+9x=0

x(x2+6x+9)=0

x=0 или x2+6x+9=0

D=b2-4ac

D=36-36=0

D=0, уравнение имеет один корень.

x=(-b+D)/2a

x=-6+0/2

x=-3

(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.

4) Найдем производную функции:

y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9

5) Определим критические точки:

y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0 сократим на 3

x2+4x+3=0

D=b2-4ac

D=16-12=4

D>0, уравнение имеет 2 корня.

x1,2=(-b±√D)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2

x1=-1 x2=-3

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

0 -4

+ - +

-3 -1

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) Найдем xmin и xmax:

xmin=-1

xmax=-3

8) Найдем экстремумы функции:

ymin=y(-1)=-1+6-9=-4

ymax=y(-3)=-27+54-27=0

9) Построим график функции:

10)Дополнительные точки:

y(-4)=-64+96-36=-4

Пример 12. Исследовать функцию y=x2/(x-2) и построить график

y=x2/(x-2)=x+2+4/(x-2)

Найдем асимптоты функции:

x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота

_x2 x-2

x2-2x x+2

_2x

2x-4

4

y=x+2 – наклонная асимптота, т.к.

lim 4/(x-2)=0

x→∞

Найдем область определения.

1) D(y)=R \ {2}

2)Определим вид функции.

y(-x)=(-x)2/(-x-2)=x2/(-x-2), функция общего вида.

3)Найдем точки пересечения с осями.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

Ox: y=0,

x2/(x-2)=0

x3-2x2=0

x2(x-2)=0

x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-4x-x2)/(x-2)2=(x(x-4))/(x-2)2=(x2-4x)/(x-2)2

5) Определим критические точки:

x2-4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 <=> <=>

(x-2)2≠ 0 x≠ 2

x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2

x(x-4)=0

x=0 или x=4

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.

0 8

+ - - +

0 2 4

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Найдем точки минимума и максимума функции:

xmin=4

xmax=0

8) Найдем экстремумы функции:

ymin=y(4)=16/2=8

ymax=y(0)=0

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x2+3) и построить график. 1) Найдем область определения функции:

D(y)=R

2) Определим вид функции:

y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+1))/(x2-3) – функция общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

Oy: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.