Рис. 3

Отметим, что в случаях б, в, г кривая пересекает касательную, переходя с одной ее стороны на другую; в этих случаях кривая имеет перегиб.

Для функций рассматриваемого класса приведенное правило полностью решает интересующий нас вопрос. Дело в том, что для такой функции в промежутке (a, b) – всего лишь конечное число стационарных точек, где отсутствует конечная производная:

a < x1 < x2 < … < xk < xk+1 < … < xk-1 <b (1)

и в любом промежутке

(a, x1), (x1, x2 ), … , (xk, xk+1), … , (xk-1, b) (2)

производная f¢(x) сохраняет постоянный знак. Действительно, если бы f¢(x) меняла знак, например, в промежутке (xk, xk+1), то, ввиду предположенной непрерывности f¢(x) – по теореме Больцано-Коши – она обращалась бы в нуль в некоторой точке между xk и xk+1, что невозможно, поскольку все корни производной содержатся в ряду точек (1).

По Теореме 1, в каждом из промежутков (2) функция изменяется строго монотонно.

Замечание.

Хотя указанный класс функций охватывает все практически интересные случаи, но все же полезно дать себе отчет в том, что могут быть случаи, где правило исследования «подозрительных» значений неприложимо. Если, например рассмотреть функцию, определяемою равенствами

при x ¹ 0 и f(0) = 0,

то, при x = 0 она имеет производную . Однако в любой близости от стационарной точки как слева, так и справа производная

бесконечное множество раз обращается в нуль, меняя при этом знак: правило неприложимо (хотя и без него непосредственно ясно, что экстремума нет).

5. ВТОРОЕ ПРАВИЛО

Если точка x0 - стационарная:

f¢(x0) = 0

и функция f(x) имеет не только первую производную f¢(x0) в окрестности этой точки, но и вторую производную f¢¢(x0) в самой точке x0, то все испытание может быть сведено к рассмотрению знака этой последней производной, в предположении, что она отлична от нуля.

Действительно, по определению производной имеем

Но функция

(3)

приобретает знак своего предела f¢¢(x0), лишь только x (будучи отличным от x0) достаточно близко к x0(ôx - x0ô) < d).

Пусть f¢¢(x0) > 0; тогда дробь (3) положительна для всех упомянутых значений x. Но для x < x0 знаменатель x - x0 < 0, следовательно, числитель f¢(x) необходимо тоже меньше нуля; наоборот, при x > x0 будем иметь x - x0 > 0, так что и f¢(x0) > 0. Иными словами, получается, что производная f¢(x) меняет знак минус на плюс, а тогда – уже по первому правилу – в точке x0 будет минимум. Аналогично устанавливается, что, если f¢¢(x0) < 0, в точке x0 налицо максимум.

Таким образом, можно сформулировать второе правило для испытание «подозрительного» значения x0: подставляем x0 во вторую производную f¢¢(x); если f¢¢(x0) > 0, то функция имеет минимум, если же f¢¢(x0) < 0, то – максимум.

Это правило имеет более узкий круг применения; оно, например, явно неприложимо к тем точкам, где не существует конечной первой производной (там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает. Решение вопроса тогда зависит от поведения высших производных.

6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Умение находить значения x, доставляющие функции y = f(x) экстремальные значения, может быть использовано для построение графика функции, точно характеризующего ход его изменения при возрастании x в промежутке [a, b].

Раньше мы строили график по точкам, взятым более и менее густо, но случайно и без учета особенностей графика (наперед не известных). Теперь можно с помощью указанных выше методов установить некоторое число «опорных» точек, характерных именно для данного графика. Имеется в виду, в первую очередь, вершины его горбов и впадин, отвечающие экстремальным значениям функции. Впрочем, к ним надлежит присоединить все вообще точки, где касательная горизонтальна или вертикальна. Даже если они не отвечают экстремумам функции.

Мы ограничимся рассмотрением функции y = f(x), принадлежащих к указанному в пункте 3 классу. Тогда для построения графика такой функции y = f(x) надлежит выполнить следующее:

1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва.

2. Найти асимптоты.

3. Приблизительно нарисовать график функции.

4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную (без производных более высокого порядка часто удается обойтись).

5. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю.

6. Составить таблицу изменения знака первой и второй производных. Определить промежутки возрастания, убывания, выпуклости вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в том числе концевые) и точки перегиба.

7. Окончательно начертить график.

При этом чем большую точность графика мы хотим достигнуть, тем больше необходимо найти точек, лежащих на нем. Обычно целесообразно найти (быть может, с определенной точностью) точки пересечения графика с осями координат и точки, соответствующие экстремумам функции; другие точки находятся по мере потребности.

В случае очень громоздких выражений для второй производной иногда приходится ограничиваться рассмотрением тех свойств графика, которые можно изучать лишь с помощью первой производной.

Пример.

Найти экстремумы и построить график функции.

Конечная производная: