существует везде, исключая точки x = 0 и x = ±1. При приближении к ним как слева, так и справа производная имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках обе односторонние производные бесконечны.

Для определения корней производной приравниваем нулю ее числитель; мы найдем . Итак, «подозрительными» по экстремуму будут точки

-1, , 0, ,1

Впрочем, ввиду четности функции (и, следовательно, симметрии ее графика относительно оси y), достаточно ограничится правой полуплоскостью, т. е. значениями x ³ 0.

При x = 0 (и вблизи этой точки) числитель и второй множитель знаменатиля имеют знак плюс. Множитель же x1/3 знаменателя меняет знак минус на плюс, производная – тоже: минимум. При (и вблизи) знаменатель сохраняет знак плюс. Числитель же, имея в виду значения x, близкие к , перепишем так: ; он обращается в нуль при, с уменьшением x – увеличивается, а с увеличением – уменьшается, так что меняет знак плюс на минус, и налицо максимум. При переходе через x = 1 множитель в знаменателе, который обращается в этой точке в нуль, не меняет знака; это же справедливо и для производной, так что при x = 1 экстремума нет.

Хотя рассматриваемая функция определена и непрерывна во всем промежутке (-¥, +¥), но построение графика, разумеется, может быть осуществлено лишь в конечном промежутке. Впрочем, можно охарактеризовать и поведение функции «на бесконечности», переписав ее так:

видим, что f(x) > 0 и стремится к нулю при x ® ±¥. Таким образом, график функции расположен над осью x, но по мере удаления в бесконечность как налево, так и направо, приближается к совпадению с осью.

Таблица:

График функции:

Рис. 4

7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ

Мы видели, что если f¢(x0) = 0 и f¢¢(x0) > 0, то функция f(x) достигает в точке x0 минимума; если же f¢(x0) = 0 и f¢¢(x0) < 0 , то функция имеет в этой точке максимум. Случай, когда и f¢(x0) =0 и f¢¢(x0) =0, был оставлен нами неисследованным.

Предположим теперь, что в окрестности точки x = x0 функция f(x)имеет n последовательных производных, и n –я производная в точке x = x0 непрерывна. Пусть все они, вплоть до (n-1)–й, в этой точке обращаются в нуль:

f¢(x0) = f¢¢(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0,

между тем как f(n)(x0) ¹ 0. Расположим приращение f(x) - f(x0) функции f(x) по степеням разности x - x0 по формуле Тейлора с дополнительным членом по формуле Пеано, так как все производные порядков, меньше чем n, равны в точке x0 нулю, то

Вследствие того, что a ® 0 при x ® x0, при достаточной близости x к x0 знак суммы в числителе будет совпадать со знаком f(n)(x0) как для x < x0, так и для x > x0,. Рассмотрим два случая.

1. n есть нечетное число: n = 2k + 1.При переходе от значений x, меньших чем x0, к значениям, большим чем x0, выражение (x - x0)2k + 1 изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разности f(x) – f(x0) изменится. Таким образом в точке x0 функция f(x) не может иметь экстремума, ибо вблизи этой точки принимает значения как меньшие, так и большие, чем f(x0).

2. n есть четное число: n = 2k. В этом случае разность f(x) – f(x0) не меняет знака при переходе от x, меньших чем x0 к большим, так как (x - x0)2k > 0 при всех x. Очевидно, вблизи x0 как слева, так и справа, знак разности f(x) – f(x0) совпадает со знаком числа f(n)(x0). Значит, если f(n)(x0) > 0, то f(x) > f(x0) вблизи точки x0, и в точке x0 функция f(x) имеет минимум; если же f(n)(x0) < 0, то функция имеет максимум.

Отсюда получаем такое правило:

Если из производных, не обращающихся в точке в нуль, первой оказывается производная нечетного порядка, то функция не имеет в точке ни максимума, ни минимума. Если такой производной является производная четного порядка, функция в точке, имеет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли эта производная отрицательна или положительна.

Пример.

Например, для функции f(x) = ex + e-x + 2 cos x точка x = 0 является стационарной, так как в этой точке обращается в нуль производная

f¢(x) = ex - e-x - 2 sin x

Далее:

f¢¢(x) = ex + e-x - 2 cos x f¢¢(0) = 0;

f¢¢¢(x) = ex - e-x + 2 sin x f¢¢¢(0) = 0;

f¢¢¢¢(x) = ex + e-x - 2 cos x f¢¢¢¢(0) = 4.