, , (13)

где

, (14)

ν –коэффициент кинематической вязкости.

Так как средняя температура потока изменяется по длине трубы, то и ν будут изменяться по длине трубы. В силу соотношений

, (15)

где μ и ρ – текущие значения коэффициента динамической вязкости и плотности соответственно, где

(16)

имеем

(17)

Тогда можно записать

, (18)

- коэффициент кинематической вязкости при температуре Т0 .

Аналогично из (13) можно получить:

(19)

Кроме того

(20)

Теперь рассмотрим интеграл, входящий в (4):

(21)

Рассмотрим дробь ( знаменатель перенесли в числитель по правилам геометрической прогрессии, далее избавимся от степеней используя бином Ньютона)

Преобразуем следующую дробь, следуя тем же принципам:

В итоге интеграл (21) примет вид:

(22)

При высокочастотных колебаниях

(23)

Легко видеть, что

С учетом (23) определим (4):

и уравнение (8) обретет вид:

(24)

В уравнении (24)

, (25)

или

(26)

Тогда для μ<<1, H0>>1 запишем

(27)

Н* от x не зависит, поэтому при рассмотрении уравнения (24) ее можно опустить. С учетом (11) уравнение (24) приводится к виду:

, (28)

где

Определим константы a и b. Для этого запишем уравнение (9) для левого и для правого краев трубы (x1=0, x2=1):

, (29)

Для x=0:

, , .

Для x=1:

, , .

Константы найдены, и уравнение (28) примет вид:

, (30)

где

-,

к0 примем за λ, тогда:

(31)

При ε=0 выражение (31) принимает вид уравнения (1):

(32)

2. Определение собственных чисел и собственных функций методом Ритца.

В качестве метода приближенного аналитического определения собственных чисел и собственных функций используем метод Ритца. Этот метод очень удобен, поскольку параметр ε (при решении уравнения (31)) может быть произвольной константой ε<1, в отличие от метода возмущений, где обязательным требованием является ε<<1.

Рассмотрим уравнение Штурма-Лиувилля:

(33)

при граничных условиях

. (34)

Составим функцию

(35)

и составим для нее уравнение Эйлера

,

где индексы обозначают дифференцирование по соответственно. Получим уравнение

, (36)

совпадающее с уравнением (33). Следовательно. Уравнение (33) есть уравнение Эйлера для функционала:

(37)

Решение задачи проводится в следующем порядке. Сначала берут последовательность независимых функций p1(x), p2(x),…,удовлетворяющих граничным условиям, составляют их линейную комбинацию

(38)

и подставляют сумму (38) в функционал (37). В результате получают квадратичную форму коэффициентов ai. Приравнивая ее частные производные по ai, приходят к системе n однородных уравнений с n неизвестными аi. Полагая определитель системы равным нулю, получают уравнение n-ой степени относительно . Его корни , , могут быть приняты за приближенные значения первых трех собственных значений задачи. Для каждого из них может быть найдена из упомянутой однородной системы, система чисел ai, и по ней построена соответствующая функция p(x), которая приближенно может быть принята за соответствующую собственную функцию.

Приступим к конкретному расчету, для чего положим в уравнении (33) g(x)=1, r(x)=1, q(x)=0, тогда получим уравнение

, (39)

при граничных условиях (34), совпадающее с (32) и с (1). Оно описывает колебания давления в случае равномерного распределения температуры. Общее (точное) решение этого уравнения имеет вид: