Наш интеграл имеет вид:

(55)

Определим а0 из условия симметрии:

p(0)=-p(1) (56)

Подставляя условие (56) в уравнение (48), получим:

или

(57)

Отсюда

(58)

Перепишем (55) в следующем виде:

(59)

Подведем итоги и запишем вид функционала (45) после всех проведенных вычислений:

(60)

Получили квадратичную форму коэффициентов аi. Теперь получим собственные функции и собственные значения при ε=0,1. В этом случае (60) примет вид:

(61)

Исследуем функционал на минимум. Для этого найдем производные по а1, а3, а5.

(62)

На минимуме производные (62) должны обращаться в нуль, поэтому получаем систему однородных уравнений относительно а1, а3, а5.

(63)

Чтобы система (63) имела решение, ее определитель должен быть равен нулю.

(64)

Прежде чем приступить к вычислениям, для удобства умножим определитель на 100 и сделаем замену .Тогда

(65)

Если раскрыть определитель, получим кубическое уравнение, корни которого и будут приближенными значениями собственных чисел задачи.

Раскрывая определитель, получим:

, 1, 2, 3,…6. (66)

Вычислим Сi:

Сложив все Сi, получим уравнение:

(67)

Разделив уравнение (67) на коэффициент при последнем члене, получим:

(68)

Алгебраическое уравнение вида (68) можно записать как

, (69)

где

Делая в уравнении (69) замену неизвестного

, , (70)

получаем, так называемое, приведенное уравнение

, (71)

где

Вычислим дискриминант:

Здесь , поэтому уравнение (71) имеет три действительных решения. Положим

, ,

, .

Тогда решениями приведенного уравнения будут:

(72)

Из (70) найдем :

Отсюда

(73)

Числа и есть собственные значения задачи. Наиболее важным и близким к (решению задачи при ) здесь является .

Для определения чисел а1, а3 , а5 подставим значения в систему уравнений (63), получим:

(74)

Разделим каждое уравнение на коэффициент при последнем члене:

Теперь рассмотрим уравнения попарно, найдем коэффициенты а1, а3, а5 для каждой пары уравнений, а затем проверим точность, подставив решения каждой пары в неиспользованное уравнение.

1)

Проверим точность:

2)

Проверим точность:

3)

Проверим точность:

Наибольшую точность дают коэффициенты, полученные при рассмотрении второй пары уравнений, поэтому при дальнейших вычислениях будем использовать именно их:

Коэффициент а1 определим из условия нормировки (42):

Вычисления остальных коэффициентов дают:

(из (57))