& X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого мно­жества х непустых и попарно непересекающихся множеств, сущест­вует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

u (u x u ≠ 0 & v (v x & v ≠ u v ∩ u = 0))

yu (u x 1w (w u ∩ y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое мно­жество может быть вполне упорядочено. x y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): xy (x y y x).

Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном мно­жестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.

xy ((y Part x) & u (u x & y Tot u v (v x &w (w u w =

= v y))) v (v x &w (w x y))).

Доказательство.

1. (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х α и y β. Но так как α β или β α, то либо x y, либо y x.

2. Trich (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число α, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа α, и вполне упо­рядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.

3. (W. O.) Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и (х).)

4. Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u {и}. Пусть х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основа­нии Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u х, то и {и} х1 и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f‘ u = v является искомой выбираю­щей функцией для х.